一 比较法优秀教案设计

兰州交通大学东方中学导学案

高中数学教研组

主备人：卢小平

班级：

姓名：

新人教A版 高中数学 选修4-5 《2.1 比较法》导学案

授课人：兰州交通大学东方中学 卢小平

一、学习目标：

掌握比较法解题的一般步骤，并会应用比较法证明不等式。

二、学习重难点：

重点：理解作差比较法和作商比较法．

难点：熟练应用比较法证明不等式．

三、情景引入：

想一想：甲,乙两地之间有一信鸽飞来飞去.问无风的天气信鸽飞一个来回用的时间多,还是来回一个顶风,一个顺风用的时间多？或者是花费时间一样多? 四、知识导学: 比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用。在其一般步骤中,变形是证明推论中一个承上启下的关键,变形的目的在于判断等号或分子分母的大小关系,而不是考虑变形后的表达式能否化简或值是多少。变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方、因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法。一般地,证明幂、指数不等式时常用“商值比较”法,证明对数不等式时常用“差值比较法”。当“差”或“商”式中含有参数时,一般情况下都要对参数的取值进行分析,应引起注意的是比较法证明不等式问题经常借助于函数的单调性。

五、疑难突破

1.比较大小关系的一般方法

在比较大小关系的问题中,很多情况下是可以直接作差或作商比较的,但是为了得到准确的结果,可以先用特殊值赋值的方法对最后的结果进行预猜,这样在比较的过程中,不会因为疏忽或其他原因造成结果的错误,尤其是在多个数或数学式比较大小时,为避免两两比较的烦琐,可以提前预测,再进行比较.还有一类较为特殊的比较大小问题,如数列问题中,两个数或数学式的大小可能会随一些变量或参数的不同范围而发生变化,这就要注意对相关问题的讨论,大小关系一定或不一定,是首先应判断的. 2.作商比较法中的符号问题

b在作商比较法中,>1b>a是不正确的,这与a,b的符号有关,若a,b>0,由abb>1,可得b>a,但若a,b<0,则由>1得出的反而是b

1

六、知识梳理

1.比较法的种类

比较法一般分为两种:_____ ____和_____ ____. 2.作差比较法

(1)作差比较法的证明依据:___________________. (2)基本步骤:①______ ___;②____ _____;③___ ______;④___ ______. 3.作商比较法

(1)作商比较法的证明依据:_______ ____________. (2)基本步骤:①_________;②_________;③_________;④_________. 名师点拔：使用作商比较法时一定要注意不等式两边的式子均为正值，若均为负值时，可先同乘以－1，转化后再进行证明。

七、典型例题

（一）作差法证明不等式

例1：设a,b∈R,求证:a2+b2≥2(a-b-1). 思路分析:证明不等式，通常可以看作是比较两式大小的问题. 证明:∵a2+b2-2(a-b-1)=a2+b2-2a+2b+2 =a2-2a+1+b2+2b+1 =(a-1)2+(b+1)2≥0,

∴a2+b2≥2(a-b-1). 温馨提示

作差法证明不等式的步骤:作差—变形—判定符号—结论. 这里变形的目的是能判断出差式的符号.为此有分解因式和配方两种变形方式,但是,不是每个问题都可用此两种变形方式.能分解因式确定符号的,配方就不能;不能分解因式的,往往能配方确定符号. 变式训练1

已知a，b∈R，且a+b=1 2522求证：a2b2 2证法一：（比较法） a,bR,ab1,b1a a2b2259a2b24(ab)

22911a2(1a)242a22a2(a)20

22225122即a2b2（当且仅当ab时，取等号）

22证法二：（分析法）

22

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主备人：卢小平

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a2b2222525a2b24(ab)8

22b1a 2

25122a(1a)48(a)022252555＝右边

tt2t2222222当且仅当t=0时，等号成立

点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元

证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）

设y=(a+2)2+(b+2)2，

因为显然成立，所以原不等式成立

点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件

证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）

25证法四：（反证法）假设(a2)2(b2)2，

225则 a2b24(ab)8

2由a+b=1，有y(a2)2(3a)22a22a13，

所以2a22a13y0，

因为aR，所以442(13y)0，即y故a2b22225

225

225由a+b=1，得b1a，于是有a2(1a)212

211所以(a)20，

这与a0矛盾 22225

2证法五：（放缩法）∵ab1

所以a2b222温馨提示：

作差法证明是最基本的证明方法，变式越彻底，越有利于符号的判断.最后最好出现常数、平方、几个因式之积,再逐一论证各因式的符号,从而得出差式整体的符号. （二）作商法证明不等式

例2：已知a,b∈R+,求证:aabb≥abba. 思路分析:证明这种含有幂指数乘积形式的不等式，往往通过作商与1比较大小较为容易。

∴左边＝a2b222a2b22

22aabba-bb-aaa-b证明:ba=a·b=(). babaa>1,a-b>0,∴()a-b>1; bbaa②当01; bbaa③当a=b时,=1,a-b=0,()a-b=1. bbabba总之,ab≥ab. 温馨提示

一般地，应用求商比较时，要注意两式均为正，将代数式化到最简以后如果还无法判断其结果与1的大小，此时可以分情况讨论并利用指数、幂的相关性质做出合理的判断。

变式训练2

①当a>b>0时,2125ab4＝右边

22 点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式ab2a2b22

2证法六：（均值换元法）∵ab1，

11所以可设at，bt，

221122∴左边＝a2b2(t2)2(t2)2

222

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a2b2ab若a>b>0,求证: 2. 2abab证明:(作商法) a2b222a2b2ab(ab)22aba2b2abab∵

2121,2abab2aba2b2ab2ab2abab（三）不等式在实际问题中的应用

例3：白糖溶液中加入少量白糖后（未达到饱和度）质量分数增加了还是减小了？请证明你的结论。

思路分析:设出溶质与溶液的质量，就可以表示出白糖溶液的质量分数，再设出加入的白糖量，就可以得出加量后的白糖溶液质量分数，最后再比较两者的大小，从而验证了自己的猜想。

解:设原有白糖a，白糖溶液b,加入白糖m. aam则加入白糖前的质量分数为，加入后的质量分数为

bbmama(am)b-(bm)aabmb-(abma)m(b-a)-===

bmb(bm)b(bm)b(bm)b来回的时间为ss2sV+. 2VvVvVv22s2sVV2v2v2∴212<1. VVv2V2V2sV2s2sV

0,VV2v2V2v2答:信鸽在甲,乙两村之间飞行一个来回,无风时用的时间比有风时(顶风和顺风)用的时间少. 温馨提示

先设出必要的量,表达出要比较的两个时间,是数学建模的关键.要学会建模,需要先熟练地列出各种代数式. 八、当堂检测：

1.若P＝2，Q＝6－2，R＝7－3，则P，Q，R的大小关系是(

) 又A．P＞Q＞R B．P＞R＞Q资*源%库

C．Q＞P＞R D．Q＞R＞P

解析：∵2＋2＝22＞6，∴2＞6－2，即P＞Q；

又∵6＋3＞7＋2，

∴6－2＞7－3，即Q＞R.∴P＞Q＞R. 2.已知a，b都是正数，P＝由题意知：b>a>0,m>o ∴amam(b-a)>0,即>. bmb(bm)ba＋b2，Q＝a＋b，则P，Q的大小关系是(

) 所以，加入白糖后溶液的质量分数增加了。

温馨提示

实际应用题的特点往往是没有具体数据,这就需要在求解问题时,设出必要的量,然后用代数式把实际问题表达成纯数学问题.这一过程叫数学建模.数学建模是解答实际应用题的关键.解实际应用问题的困难在于能否顺利地建模.建模的第一步设量是建模的关键。

变式训练3

本节情景导入问题. 解析:设信鸽在无风中飞行的速度是V,风速是v(v

A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q 解析：∵a，b都是正数，∴P＞0，Q＞0. a＋b2∴P2－Q2＝－(a＋b)2

2－(a－b)2＝≤0.

2∴P2－Q2≤0.∴P≤Q. 答案：D

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3.如果loga3＞logb3且a＋b＝1，那么(

) A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1Ziyuanku.com C．1＜a＜b D．1＜b＜a 解析：∵a＞0，b＞0，

又∵a＋b＝1，∴0＜a＜1,0＜b＜1，

∴lg a＜0WWW.ziyuanku.com，lg b＜0，由loga3＞logb3 lg 3lg 311lg a－lg b＞0lg a－lg b＞0 lg b－lg alg alg b＞0lg b＞lg ab＞a. ∴0＜a＜b＜1. 答案：A 4.比较大小：log113________log11. 232log11解析：23112log1log131log1log12323，

1232又∵log11121log121，∴log1232231. ∴log113log1122. 35.若－1＜a＜b＜0，则1a，1b，a2，b2中值最小的是________．

解析：依题意，知0＞111a＞b，a2＞b2＞0，故值最小的是b. 答案：1b

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