三 反证法与放缩法教学目标

人教A版高中数学选修5-4第二讲

三

反证法与放缩法

第一课时

反证法

教学设计

【教材内容分析】本课是人教A版数学选修4-5第三讲“证明不等式的基本方法”第三节“反证法与放缩法”第一课时的内容，不等式的证明分为直接证法和间接证法，虽然学生在初中和选修2-2中学过，但是反证法作为一个逆向思维的证明方式学生学习过程中是一个难点，所以，本节课关键要让学生学会反设、推理过程，体会反证法在命题证明过程中的妙用。

【学情分析】：

前面我们学习了两种直接证明问题的方法——综合法和分析法。在以前的学习中，学生已经接触过用反证法证明数学命题，但受基础和思维能力影响，应用反证法证明依然是一难点。

【教学目标】：

（1）知识与技能：结合数学实例，培养学生证明简单问题的推理技能，进一步培养观察、分析能力和逻辑思维能力。

（2）过程与方法：掌握反证法证题的基本方法和步骤，能够运用反证法证明数学问题。

（3）情感态度与价值观：通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，在探究中学习数学的乐趣，养成言之有理，论证有据的习惯。

【教学重点】：

了解反证法的证明的步骤方法，运用反证法证明数学问题。

【教学难点】：

运用反证法证明问题中的反设和“矛盾的得出。

【教学过程设计】：

一问题的导入

1 课前复习回顾

我们在前几节课学习了证明不等式的几种基本方法，比较法、综合法和分析法，他们共同的特点就是直接从证明的问题入手，比较法依据实数大小的基本事实通过恒等变形证明，而综合法从已知条件出发逐步推理得到结论，分析法从结论出发，寻找结论成立的条件，从而证明不等式。但是对于有些不等式，由于条件和结论的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰或情况复杂，需分类讨论，不能用直接证明方法，今天我们要学习另一种证明的方法——反证法。

2情景创设

看下面故事

三个古希腊哲学家，由于争论和天气炎热感到疲倦了，于是在花园里的一棵大树下躺下来休息一会，结果都睡着了。这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额。三个人醒来以后，彼此看了看，都笑了起来。但这并没引起他们之中任何一个人的担心，因为每个人都以为是其他两人在互相取笑。这时其中有一个突然不笑了，因为他发觉自己的前额也被涂黑了。那么他是怎样觉察到的呢？你能想出来吗？

这个故事中，不笑的这个人是如何发觉的前额也被涂黑了呢？

他的推理过程概括起来

即通过否定原结论―――导出矛盾―――从而达到肯定原结论的目的。

二自主探究，引出概念

1定义：

通过上面故事中反映的推理过程，先假设要证命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种方法

称为反证法

，

主要解决直接证明比较困难的问题。

2步骤

利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步

分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步

作出与所证不等式相反的假定；

第三步

从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步

断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。

三应用举例

例1

若x, y > 0，且x + y >2，则1y1x和中至少有一个小于2。

xy例2

已知a, b, c

为实数，a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a> 0, b, > 0

c > 0

四课堂练习

利用反证法证明：1若已知a，b，m都是正数，并且ab，则

2证明：2,3,5

不可能是等差数列

五课时小结：1利用反证法证明命题，关键掌握几个必要步骤：

2反设结论是关键，常见的几个否定词。

正面

词语

否定

不等于

等于

大于

不大于

六课后作业：课本29页第1、4题。

天水市第八中学

董忠平

小于

不小于

不是

不都是

是

都是

至多有一个

至少有两个

至少有一个

没有

某个

某些

任意的

所有的

ama.

bmb