三 排序不等式教学设计(教案)

排序不等式

一、教材分析：

排序不等式是高中数学人教A版选修4-5第三讲的第三部分内容，教材对它的讨论篇幅不多，首先通过“探究”引导学生考虑三角形面积大小的比较问题，由这个问题可以归结出关于排序不等式的猜想——反序和

乱序和

顺序和，又通过另一个“探究”引导学生对猜想进行尝试性检验，使其进一步感到猜想的正确性。在此基础上，教材又引导学生进行了一般性的证明和排序不等式中等号成立的条件的证明，最后是应用排序不等式解决数学问题。教材展示了一个“探究——猜想——证明——应用”的研究过程，目的是引导学生通过自己的数学活动，初步认识排序不等式的数学意义、证明方法和简单应用。教学中应注意引导学生从整体上认识教材内容，把握教材的编写意图，培养有特殊事物发现一般规律并进而证明一般规律的能力。

二、学情分析：

学生之前已经学习了基本不等式、柯西不等式和数学归纳法，对不等式有比较深刻的理解，对证明方法也有所了解。我班的学生属于中等偏下的学生，对于概念的理解不存在问题，但是对于证明有很大困难。还有对教材三角形的猜想有一定问题。最好的教育就是适合学生的教育，所以我选择以联欢晚会购买礼品为背景，贴近生活实际，更易理解。

三、教学目标：

知识目标：理解排序原理和排序不等式的基本形式。

技能目标：能应用排序不等式解决简单的证明。

情感态度价值观：体会由特殊到一般的归纳的数学方法，感受到数学在生活中的实用性

四、教学重点：用排序不等式证明不等式

五、教学难点：熟练运用排序不等式

六、课时安排：在高考中，排序不等式基本不涉及，就算涉及也是用柯西不等式，所以不需要用很多课时。结合班上基础较差，重点放在应用而非证明不等式。安排1课时。

七、教学过程：

①引入：以联欢晚会购买礼品为背景，激发学生兴趣。通过三个问题，为构建排序不等式作铺垫。

①有多少种选购方案？

种

从整个来看两组实数有多少种搭配。以更全面的认识反序和顺序两种特殊情况。

②如何购买使花的钱最少？

=19元

实际问题出发，分析按照什么样的原则原则购买才能使钱最少。

少买贵的，多买便宜的

③如何购买使花的钱最多？

=25元

实际问题出发，分析按照什么样的原则原则购买才能使钱最多。

少买便宜的，多买贵的

②形成：变式层层深入，通过5个问题渗透知识

变式：若需购买

种礼品，件数分别为

件

，现有单价分别为

元的礼品

。

①有多少种选购方案？

种

设

是

的任一排列

则总的钱为

。

②如何购买使花的钱最少？

称为反序和（逆序和或倒序和）

③如何购买使花的钱最多？

称为顺序和

④剩余的安排有多少种？

-2种

设

是

的任一排列（除顺序和反序）

则

称为乱序和。

⑤乱序和、顺序和、反序和的大小关系？

反序和

乱序和

顺序和

归纳：

排序不等式：

设

为两组实数，

是

的任一排列，则

提问：什么时候反序和等于顺序和？

（引导学生往价格相同或者数量相同花的钱角度思考）

当且仅当

或

时，反序和等于顺序和. 注意：

①两列实数②由小到大排序③项数必须相同

③应用：

例1 有10个人各拿一只大小不一的水桶去接水，设水龙头注满第

个人的水桶需要

min,假设

各不相同。问只有一个水龙头时，应如何安排10个人的顺序，他们等候的总时间为多少？怎么安排使得等候的总时间最少？（ppt展示答案）

解析：第一个人用时

，等待时间10

第二个人用时

，等待时间9

第三个人用时

，等待时间8

……

第十个人用时

，等待时间

他们等候的总时间

当

时，即让桶最小的先接，用越大的越后接可使等候的总时间最少

例2 证明：

分析：①两列数②大小关系

证明：不妨设

，由排序不等式，

当且仅当

时取等号

练习1 已知

,判断

与

的大小并证明。（多媒体投影学生答案2份，并让学生提出修改意见）

解：

，证明如下：

不妨设

，则

，

由排序不等式，

当且仅当

时取等号

例3 已知

,证明：

. 练习2 设

为正数，求证：

作业

必做：

书P45：4 同步P39：1～6 选做：

用数学归纳法证明排序不等式

八、教学反思：

本次教学通过深挖教材和分析学生学情，细致设计教案，深入浅出，使得教学效果不错，学生已基本掌握目标。美中不足，本次教学的题目梯度设置可以再细化一点。可以将后面的练习作为例题3。

九、主板书

第三讲

排序不等式

排序不等式：

设

为两组实数， 例2

是

的

任一排列，则

例3

当且仅当