3.三个正数的算术-几何平均不等式教学设计一等奖

《三元基本不等式》教学设计

沧州市第五中学 郭庆思

一、教材背景分析

1.教材的地位和作用

本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质以及二元基本不等式的基础上展开的，作为二元基本不等式的延续, 为了更好地研究最值问题，此时三元基本不等式是必不可缺的。它在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材。在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如作差比较、类比猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用。 就内容的人文价值上来看，三元基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。

2.学情分析

在认知上，学生已经掌握了二元基本不等式及其应用，并能够根据二元基本不等式进行最值，和不等式的简单证明. 如何让学生再认识“基本”二字，是本节学习的前提. 事实上，该不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化，另外，在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件（一“正”、二“定”、三“相等”）在解决最值问题中的作用. 3、教学重难点：

重点： 1、基本不等式成立时的三个限制条件（即一正、二定、三相等）

2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

难点：

不等式运用过程中的变形与拼凑方法。

二、教学目标

1、知识与能力目标：理解掌握三元基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题；并能类比推理得到n元基本不等式。

2、过程与方法目标：利用类比推理得出不等式内容，采取比较法证明，也可借助二元基本不等式演绎推理出三元基本不等式。如何将问题转化出积为定值，或和为定值。

3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

三、教学基本流程设计：

温故知新

探究新知

学以致用

应用提升

反思总结

1 课堂练习

四、教学过程

教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。

具体过程安排如下：

（一）温故知新，提出问题；

设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．基于此,设置如下情境: 常用公式：ab____________________________.a3b3____________________________.

重要不等式：

3a2b22aba、bR，当且仅当ab时等号成立基本不等式：

ab2aba、bR，当且仅当ab时等号成立ababa、bR2两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

问题：类比基本不等式，猜想一下，三个正数的算术—几何平均不等式是什么？

abc3abca、b、cR3本背景意图在于通过回顾二元不等式类比出三元不等式

（二）探究新知：

1、猜想：

若a,b,cR,求证：abc3abc,3当且仅当abc时,等号成立.若a,b,cR,求证：a3b3c33abc,当且仅当abc时,等号成立.

2

333若a,b,cR,求证：abc3abc,当且仅当abc时,等号成立.

2、证明：[问] 你能给出它的证明吗？ 先学生在黑板上板书。（比较法）

再老师给出利用二元基本不等式推导三元基本不等式的等价式成立。

若

3、定理：

a,b,cR,则

4、定理解读：

abc3abc,且仅当abc时,等号成立.3 一正

1a、b、c都为正数

2abc3abcabc33abc33若abc为定值，abc可能有最小值abc3abcabcabc33二定

3当且仅当a=b=c时，等式成立，此时取到最大（小）值

5、定理推广：n个正数的算术—几何平均不等式：

三相等

若abc为定值，abc可能有最大值若a1,a2,a3,,anR,则a1a2a3anna1a2a3an,n当且仅当a1a2a3an时,等号成立.

n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节让学生理解了三元基本不等式来源于二元基本不等式，利用比较法证明，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础. （三）学以致用：

1、用算术—几何平均不等式求函数的最值

y2x2例1、求函数

3(x0)x的最小值，指出下列解法的错误,并给出正确解法. 3

解一:y2x2312122x2332x2334 ∴ymin334．

xxxxx3333121222336解二:y2x22x26x当2x即x时, ymin2623122324

x2xx22问：上述解法对吗？错在哪里？如何保证等号成立？该如何拆项转化？

（学生小组讨论，交流看法，师生总结）

b【题后反思】：求形如yax2(x0，a、b0)最小值的方法x1拆项：yax2bbb=ax2x2x2x2运用算术—几何不等式：2bbbbab2yax33ax332x2x2x2x423关注等号成立的条件：当且仅当ax2=b，即x2x3b时，等号成立2a

y2x变式训练：求函数

3(x0)2x的最小值．

例2：已知0x1,求函数yx(1x2)的最大值。

变式训练：已知0x1,求函数yx2(1x)的最大值。

2、用算术—几何平均不等式证明不等式

111求证：abc9例3：已知a,b,cR,abc

证明：略

变式训练：

问：此题如何添项？转化成三元基本不等式

的最小值。

题后反思： 1、应用定理时注意满足的条件一正二定三相等，

2、利用拆添项凑出定值，验证是否满足等号成立条件

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设计意图：让学生体会转化出定值才是利用基本不等式解决最值问题的关键

（四）应用提升

（最优化问题）

设计意图：新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题,不仅极大地增强学生的兴趣，拓宽学生的视野，更重要的是调动学生探究钻研的兴趣，引导学生加强对生活的关注，让学生体会：数学就在我们身边的生活中

例4 如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？

解：设切去的正方形边长为x，无盖方底盒子的容积为V 1V=(a-2x)2x(a2x)(a2x)4x4则

31(a2x)(a2x)4x32a[]4327

（五）反思总结：

通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要请教？

设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平. 老师根据情况完善如下：

abc3abc,且仅当abc时,等号成立 一个不等式：若a,b,cR,则3两种思想：转化思想、归纳类比思想。

三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值时注意：“一正二定三相等”

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（六）课堂练习

1.函数y3x12(x0)的最小值是 ( ) 2x A.6 B.66 C.9 D.12 2 2.函数y4x16的最小值是____________ (x21)2 3．函数yx4(2x2)(0x2)的最大值是（ ）

1632 A.0 B.1 C.27 D. 27 4.设a,b,c为正实数，求证：

111abc23

a3b3c35.若x,yR,xy24则xy的最小值是__

（七）布置作业：P114习题1.2.3

五、教学反思

类比推理是我们学习数学的重要方法。.本课的设计思路是：“从二元基本不等式引出三元基本不等式——利用比较法证明基本不等式——利用基本不等式求最值——实际应用，利用基本不等式指导生活实践”。从回顾二元基本不等式到类比推理出三元基本不等式以抽象概括为主的理性认识，然后指导生活实践. 在整个设计过程中，始终体现以学生为中心的教学理念，在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，让学生在探究问题的过程中既复习了数学知识，又加深了他们由类比到演绎推理的数学思想；在思维拓展中，利用课本变式，引导学生用三元基本不等式求最值，训练了学生的建模思想，体会了不等式的应用。

成功之处：在本节课教学中，一是温故二元基本不等式知新到三元基本不等式的类比推理比较自然，并且由二元不等式证明三元基本不等式比较新颖，最后再类比到n元基本不等式让学生从形式结构的角度加深对不等式的认识；二是源于课本，对教材的加工、改造和策划成功，做到了既贴近学生的最近发展区，又有效地达成了本节课的教学标准.

改进之处：由于本节课教学预设特别充分，因此实际生成容受到到学生对象的制约，教学节奏不够理想，过程展开不够充分，课堂结尾显得有些仓促. 时间有些拖沓。

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