1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征教案评析

第一章

空间几何体

1.1

空间几何体的结构

1．1.1

柱、锥、台、球的结构特征

第1课时

棱柱、棱锥、棱台的结构特征

[目标] 1.记住棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征；2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系；3.能用棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征解答一些简单的有关问题．

[重点] 棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征．

[难点] 棱柱、棱锥、棱台之间关系的理解．

知识点一

空间几何体

[填一填]

1．空间几何体的定义

空间中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．

2．空间几何体的分类

(1)多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．

(2)旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．

[答一答]

1．多面体与旋转体的主要区别是什么？

提示：多面体是由多个多边形围成的几何体，旋转体是由平面图形绕轴旋转而形成的几何体．

2．多面体最少有几个面，几个顶点，几条棱？

提示：多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱．

知识点二

棱柱的结构特征

[填一填]

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．

[答一答]

3．棱柱的各侧棱是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面的关系是怎样的？

提示：根据棱柱的定义，棱柱的各侧棱互相平行，侧面是平行四边形，两个底面是全等的多边形．

4．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？

提示：不一定，因为“其余各面都是平行四边形”并不等价于“每相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如右图所示．

知识点三

棱锥的结构特征

[填一填]

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．

[答一答]

5．棱锥的侧面是什么样的多边形？有什么特征？

提示：根据棱锥的定义，棱锥的侧面一定是三角形，且各个三角形有公共顶点．

6．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？

提示：不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图所示．

知识点四

棱台的结构特征

[填一填]

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面．

[答一答]

7．棱台的各侧棱是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面是什么关系？

提示：棱台的各侧棱延长后交于一点，各侧面是梯形，两个底面是相似的多边形．

8．观察下面的几何体，思考问题：

图①是棱台吗？图②用任意一个平面去截棱锥，一定能得到棱台吗？

提示：图①不是棱台，因为各侧棱延长后不交于一点，图②中只有用平行于底面的平面去截才能得到棱台．

类型一

棱柱的结构特征

[例1]

下列关于棱柱的说法：

(1)所有的面都是平行四边形；

(2)每一个面都不会是三角形；

(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；

(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．

其中正确的序号是________．

[解析]

(1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4)．

[答案]

(3)(4)

棱柱的结构特征：1两个面互相平行；2其余各面是四边形；3相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.

[变式训练1]

如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？

(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，请说明理由．

解：(1)是棱柱，并且是四棱柱．因为以长方体相对的两个面作为底面，则底面都是四边形，其余各面都是矩形，矩形当然是平行四边形，并且几何体的四条侧棱互相平行．

(2)截面BCFE上方的部分是棱柱，且是三棱柱BEB1-

CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．

截面BCFE下方的部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1-

DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．

类型二

棱锥、棱台的结构特征

[例2]

(1)

如图，在三棱台A′B′C′-ABC中，截去三棱锥A′-ABC，则剩余部分是(

) A．三棱锥

C．三棱柱

(2)下列关于棱锥、棱台的说法：

①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；

②棱台的侧面一定不会是平行四边形；

③棱锥的侧面只能是三角形；

④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；

⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥，其中正确说法的序号是________．

[解析]

(1)由题意知，在三棱台A′B′C′中，截去三棱锥A′-ABC，剩下的部分如图所示，故剩余部分是四棱锥A′-BB′C′C.故选B. B．四棱锥

D．三棱台

(2)①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤错误，如图所示四棱锥被平面PAC截成的两部分都是棱锥．

[答案]

(1)B

(2)②③④

判断棱锥、棱台形状的两个方法

(1)举反例法：

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．

(2)直接法：

定底面

看侧棱

[变式训练2]

如图，下列几何体是棱台的是④(填序号)．

棱锥

为底面

相交于一点

棱台

为底面

延长后相交于一点

只有一个面是多边形，此面即两个互相平行的面，即

解析：①③都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故①③不满足题意．②中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故②不满足题意．④符合棱台的定义．

类型三

空间几何体的展开图问题

[例3]

(1)请画出如图所示的几何体的表面展开图；

(2)如图是两个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？

[解]

(1)展开图如图所示．(答案不唯一)

(2)根据表面展开图还原成几何体，如图③和④所示，可知①为五棱柱，②为三棱台．

1解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力. 2若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先

把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面. 3若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推.

[变式训练3]

某城市中心广场主题建筑为一三棱锥，且所有边长均为10 m，如图所示，其中E，F分别为AD，BC的中点．

(1)画出该几何体的表面展开图，并注明字母；

(2)为迎接国庆，城管部门拟对该建筑实施亮化工程，现预备从底边BC中点F处分别过AC，AB上某点向AD中点E处架设LED灯管，所用灯管长度最短为多少？

解：(1)该几何体的表面展开图为

(2)由该几何体的展开图知，四边形ACBD为菱形，四边形ABCD为菱形．若使由F向E所架设灯管长度最短，可由其展开图中连接线段EF.这两条线段均为10，故所用灯管最短为20 m.

1．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为(

D

) A．四棱柱

B．四棱锥

C．三棱柱

D．三棱锥

2．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是(

B

)

A．棱柱的侧棱长都相等

B．四棱锥有五个顶点

C．三棱台的上、下底面是相似三角形

D．有的棱台的侧棱长都相等

解析：根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥只有一个顶点，故B不正确．

3．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是(

C

)

A．①③

B．②④

C．③④

D．①②

解析：可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．

4．下列几何体中，①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台(仅填相应序号)．

解析：结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．

5．画一个三棱台，再把它分成：

(1)一个三棱柱和另一个多面体．

(2)三个三棱锥，并用字母表示．

解：画三棱台一定要利用三棱锥．

(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′-AB″C″，另一个多面体是B′C′BCC″B″. (2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′-ABC，B′-A′BC，C′-A′B′C.

——本课须掌握的四大问题

1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面：

(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．

(2)多面体是一个“封闭”的几何体．

2．对于棱柱的定义注意以下三个方面：

(1)有两个面平行，各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形．

(2)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱．

(3)从运动的观点看，棱柱可以看成是一个平面多边形，从一个位置沿一条不与其共面的直线运动到另一位置时，形成的几何体．

3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形．

4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台．

学习至此，请完成课时作业1 学科素养培优精品微课堂

柱、锥、台结构特征判断中的误区

开讲啦

(1)解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理．

(2)解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图

形主观臆断．

[典例]

如图所示，几何体的正确说法的序号为________．

(1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；(3)这是一个四棱柱；(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．

[解析]

(1)正确，因为有六个面，属于六面体的范围；(2)错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；(3)正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；(4)(5)都正确，如图所示．

[答案]

(1)(3)(4)(5) [对应训练]

如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是(

A

)

A．棱柱

B．棱台

C．棱柱与棱锥的组合体

D．不能确定

解析：符合棱柱的定义．

第2课时

圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征

[目标] 1.记住圆柱、圆锥、圆台、球的定义及它们的结构特征；2.能用圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征解答一些相关问题．

[重点] 圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征．

[难点] 圆柱、圆锥、圆台之间关系的理解．

知识点一

圆柱

[填一填]

以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．

旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．

棱柱和圆柱统称为柱体．

[答一答]

1．①在圆柱中，圆柱的任意两条母线是什么关系？过两条母线的截面是怎样的图形？

②在圆柱中，过轴的截面是轴截面，圆柱的轴截面是什么图形？轴截面含有哪些重要的量？

③圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线吗？

提示：①圆柱的任意两条母线平行，过两条母线的截面是矩形．

②圆柱的轴截面是矩形，轴截面中含有圆柱的底面直径与圆柱的母线．

③不一定．圆柱的母线与轴是平行的．

知识点二

圆锥

[填一填]

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．

棱锥与圆锥统称为锥体．

[答一答]

2．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥吗？

提示：不是．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底面圆锥组成的几何体．

知识点三

圆台

[填一填]

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．

棱台与圆台统称为台体．

[答一答]

3．类比圆柱、圆锥的形成过程，圆台可以由平面图形旋转而成吗？

提示：(1)圆台可以看作是直角梯形以垂直底边的腰所在的直线为旋转轴，其他三边旋转一周而成的曲面所围成的几何体．

(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其两底边的中点连线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．

知识点四

球体

[填一填]

以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球．

半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．

[答一答]

4．半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成什么？它与球有区别吗？

提示：半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成球面．球面是一曲面，它只能度量面积而不能度量体积，球是由球面围成的几何体，它不仅可以度量球的表面积，还可以度量其体积．

5．用一个平面去截球，得到的是一个圆吗？

提示：不是，得到的是一个圆面，球是一个几何体，包括表面及其内部．

类型一

旋转体的结构特征

[例1]

(1)下列叙述中，正确的个数是(

) ①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．

②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台．

③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

④圆面绕它的任一直径旋转一周形成的几何体是球．

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

(2)给出下列命题：

①圆柱的母线与它的轴可以不平行；

②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；

③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．

其中正确的是(

) A．①②

B．②③

C．①③

D．②④

[解析]

(1)以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥，故①错；以直角梯形的一斜腰为轴旋转一周所得的旋转体不是圆台，故②错；当截面与底面不平行时，得到的两个几何体不是圆锥和圆台，故③错．故只有④是正确的．故选B. (2)由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．

[答案]

(1)B

(2)D

简单旋转体判断问题的解题策略

(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键．

(2)解题时要注意两个明确：

①明确由哪个平面图形旋转而成；

②明确旋转轴是哪条直线．

[变式训练1]

以下说法中：

①圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定不等于1；

②矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱；

③圆锥侧面的母线长一定大于圆锥底面圆直径；

④圆台的上下底面不一定平行，但过圆台侧面上每一点的母线都相等．

其中正确的序号为①. 解析：圆台上、下底面不等，所以面积比不等于1，所以①正确；矩形绕其一边所在直线旋转才可以围成圆柱，所以②不正确；圆锥母线不一定大于底面直径，所以③不正确；圆台的上、下底面一定平行，所以④不正确．

类型二

旋转体的有关计算

命题视角1：圆柱、圆锥、圆台的计算问题

[例2]

已知一个圆台的母线长为12 cm，两底面的面积分别为4π cm2和25π cm2，求：

(1)圆台的高；

(2)截得此圆台的圆锥的母线长．

[分析]

在解答有关台体的问题时，一般要把台体还原成锥体，这就是常应用的“还台为锥”的思想，不仅在作图时应用，而且在计算时也常应用此思想寻求元素间的关系，以便解决问题．

[解]

(1)

设圆台的轴截面为等腰梯形ABCD(如图所示)．

由题意可得上底的一半O1A＝2 cm，下底的一半OB＝5 cm，腰长AB＝12 cm，所以圆台的高AM＝122－5－22＝315(cm)．

(2)如图，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，

l－122则由△SAO1∽△SBO，得l＝5，

解得l＝20.

故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.

旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化.对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解.这是解答圆台问题常用的方法.

[变式训练2]

用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1台的母线长9 cm. 解析：

4，截去的小圆锥的母线长是3 cm，则圆

如右图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分3x别是x,4x.根据相似三角形的性质得＝4x，解此方程得y＝9.所以3＋y圆台的母线长为9 cm. 命题视角2：球的截面问题

[例3]

已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π，求这两个截面间的距离．

[分析]

画出球的截面图，球心与截面圆心连线垂直于截面所在的平面，构造直角三角形解决．对于球的两个平行截面要注意讨论它们在球心同侧还是异侧，否则容易漏解．

[解]

设球的大圆为圆O，C，D两点为两截面圆的圆心，AB为经过C，O，D三点的直径且两截面圆的半径分别是6和8.

当两截面在球心同侧时，如图(1)，此时CD＝OC－OD＝OE2－EC2－OF2－DF2＝8－6＝2. 当两截面在球心两侧时，如图(2)，此时CD＝OC＋OD＝OE2－EC2＋OF2－DF2＝8＋6＝14. 故两截面间的距离为2或14.

利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.

[变式训练3]

已知正方体的棱长为a，求它的外接球的半径．

解：

正方体的外接球与正方体相连接的点为正方体的各个顶点，故应作正方体的对角面，则球的轴截面为对角面矩形的外接圆，如图所示，设3球的半径为R2，则(2R2)2＝(2a)2＋a2⇒R2＝2a. 类型三

旋转体的展开图问题

[例4]

如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？

[解]

把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．

∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，

∴AA′＝2π×1＝2π，

∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋2π2＝21＋π2，

故蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.

求旋转体侧面上两点间的最短距离，一般转化为侧面展开图上两点间的距离进行求解. [变式训练4]

若本例中蚂蚁围绕圆柱转两圈，如图，则它爬行的最短距离是多少？

解：可把圆柱展开两次，如图，则AB′即为所求．

∵AB＝2，BB′＝2×2π×1＝4π，

∴AB′＝AB2＋BB′2＝4＋16π2＝21＋4π2. 故蚂蚁爬行的最短距离为21＋4π2.

1．下图是由哪个平面图形旋转得到的(

D

)

解析：组合体上半部分是圆锥，下半部分是一个圆台，因此应该是由上半部分为三角形，下半部分为梯形的平面图形旋转而成的，观察四个选项得D正确．

2．下列说法正确的是(

C

) A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面

B．通过圆台侧面上一点，有无数条母线

C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点

D．圆锥的母线可能平行

解析：对于A，用一平面去截圆台，当截面与底面不平行时，截面不是圆面；对于B，通过圆台侧面上一点，只有一条母线；对于D，圆锥的母线延长后交于顶点，因此不可能平行．

3．若A，B为球面上相异的两点，则通过A，B两点可作球的大圆有(

D

) A．一个

B．无穷多个

C．零个

D．一个或无穷多个

解析：若A，B为一条直径的两端点，则经过A，B两点可作无数个大圆．若A，B与球心O不在同一直线上，只能作一个大圆．故选D. 4．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为103 cm. 解析：h＝20cos30°＝103 (cm)．

5．已知圆锥底面半径r＝1 cm，母线l＝6 cm，现有一只蚂蚁，从圆锥底面圆周上的点A沿侧面爬一周后又回到点A，求它至少要爬的路

程．

解：

r1如图，将圆锥侧面沿母线PA展开，所得扇形的圆心角θ＝l·360°＝6×360°＝60°. 连接AA′，则AA′的长度就是蚂蚁爬的最短距离．

因为△AA′P是等边三角形，

所以AA′＝AP＝6 cm，

即蚂蚁至少要爬6 cm.

——本课须掌握的三大问题

1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．

2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．

3．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．

学习至此，请完成课时作业2