2.3.2 圆的一般方程教案设计（一等奖）

4.1.2

圆的一般方程

学习目标

1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．

知识点

圆的一般方程

思考1

方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？

答案

对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆，

对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形．

思考2

方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆？

答案

对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方并移项，得

22D2E2D＋E－4F(x＋)＋(y＋)＝，

224DE1①当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以(－，－)为圆心，D2＋E2－4F为半径长的圆；

222DEDE②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－，y＝－，它表示一个点(－，－)；

2222③当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解，它不表示任何图形．

梳理

方程

x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0

类型一

圆的一般方程的概念

例1

若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径．

解

由表示圆的条件，

得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，

1解得m<，

5D2＋E2－4F＝0

D2＋E2－4F>0

22条件

D2＋E2－4F<0

图形

不表示任何图形

DE表示一个点(－，－) 22DE1表示以(－，－)为圆心，以D2＋E2－4F为半径的圆

222

1即实数m的取值范围为(－∞，)．

5圆心坐标为(－m,1)，半径为1－5m. 反思与感悟

形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法

(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．

(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．

应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．

跟踪训练1

(1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________．

(2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．

答案

(1)(－2，－4)

5

(2)9π

解析

(1)由圆的一般方程的形式知，

a＋2＝a2，得a＝2或－1. 5当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，

25∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×＜0，

2∴a＝2不符合题意．

当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，

即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，

∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5. k(2)圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标为(－，－1)，

2由圆的性质知，直线x－y＋1＝0经过圆心，

k∴－＋1＋1＝0，得k＝4，

21∴圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为42＋22＋16＝3，

2∴该圆的面积为9π.

类型二

求圆的一般方程

例2

已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．

(1)求△ABC的外接圆的方程；

(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．

解

(1)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

2＋2＋2D＋2E＋F＝0，22由题意，得5＋3＋5D＋3E＋F＝0，32＋－12＋3D－E＋F＝0，D＝－8，解得E＝－2，F＝12.22

即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. (2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，

∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，

∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，

即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6. 引申探究

若本例中将点“C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？

解

∵kAB＝3－2175＝，AB的中点坐标为(，)，

225－2357∵AB的垂直平分线方程为y－＝－3(x－)．

22y＝－x，联立57y－＝－3x－，22

得13y＝－，213x＝，2

1313即圆心C的坐标为(，－)，

22r＝

1313370－22＋－－22＝

，

2221313185∴圆C的方程为(x－)2＋(y＋)2＝. 222反思与感悟

应用待定系数法求圆的方程时应注意

(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. 跟踪训练2

已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程．

解

方法一

(待定系数法) 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

将P，Q的坐标分别代入上式，

4D－2E＋F＋20＝0，

①得

D－3E－F－10＝0.

②

令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，

③

由已知得|y1－y2|＝43，其中y1，y2是方程③的根，

∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48. ④

联立①②④解得

D＝－2，E＝0，F＝－12

D＝－10，或E＝－8，F＝4.

故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 方法二

(几何法) 由题意得线段PQ的垂直平分线方程为x－y－1＝0，

∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，

设其坐标为(a，a－1)．

又圆C的半径长

r＝|CP|＝a－42＋a＋12.

①

由已知得圆C截y轴所得的线段长为43，而圆心C到y轴的距离为|a|，

432∴r2＝a2＋()，

2代入①整理得a2－6a＋5＝0，

解得a1＝1，a2＝5，

∴r1＝13，r2＝37. 故圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37. 类型三

与圆有关的轨迹方程

例3

已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．

解

设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心坐标为C(3,3)．

因为CM⊥AM，所以kCM·kAM＝－1，

即y－3y＋5·＝－1，

x－3x＋3即x2＋(y＋1)2＝25. 所以弦PQ的中点M的轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25(已知圆内的部分)．

反思与感悟

求轨迹方程的三种常用方法

(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明．

(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．

(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得P点的轨迹方程．

易错警示

在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，即应排除不合适的点．

跟踪训练3

已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．

解

设点M(x，y)，点P(x0，y0)，

x＝2，则yy＝2，0x0

x0＝2x，∴

y＝2y.0

∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，

2∴x0＋y20－8x0－6y0＋21＝0，

∴(2x)2＋(2y)2－8×(2x)－6×(2y)＋21＝0，

21即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋＝0. 4

1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为(

) A．8π

B．4π

C．2π

D．π

答案

C 解析

原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，

∴半径r＝2，∴圆的面积为S＝πr2＝2π.

2．若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是(

) A．x＋y－3＝0

C．2x－y－6＝0

B．x－y－3＝0 D．2x＋y－6＝0

答案

C 解析

圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圆心坐标为(4,2)，则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长．由2－0k＝＝2，可知C正确．

4－33．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是(

) A．m≤2

C．m＜2

答案

B 解析

由D2＋E2－4F＞0，得(－1)2＋12－4m＞0，

1即m＜. 24．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为(

) A．－2,4,4

C．2，－4,4

答案

A b解析

由方程得圆心坐标为(－a，)，半径为r＝

24a2＋b2－4c＝2，解得a＝－2，b＝4，c＝4. 25.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程．

4a2＋b2－4cb.由已知，得－a＝2，＝2，22B．－2，－4,4 D．2，－4，－4 1B．m＜

21D．m≤

2

解

设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段ABx0＋xy0＋y的中点，所以4＝，3＝，

22于是有x0＝8－x

，y0＝6－y.

①

因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，

所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，

即(x0＋1)2＋y20＝4，

②

把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，

整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4. 所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.

1．判断二元二次方程表示圆要“两看”：

一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆．此时判断D2＋E2－4F是否大于0或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数．

2．待定系数法求圆的方程

如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D、E、F. 3．求轨迹方程的一般步骤：

(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y)．

(2)列出点M满足条件的集合．

(3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)＝0. (4)将上述方程化简．

(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．

课时作业

一、选择题

1．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为(

) A．2

B.答案

D |1＋2－1|解析

因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x－y＝1的距离为d＝＝2. 22．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(

) A．以(a，b)为圆心的圆

B．以(－a，－b)为圆心的圆

C．点(a，b) D．点(－a，－b) 答案

D 解析

原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，

x＋a＝0，x＝－a，∴即

y＋b＝0，y＝－b.2

C．1

D.2 2

∴方程表示点(－a，－b)．

3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为(

)

A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0 C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0 答案

C 解析

直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，

－x－y＋1＝0，由得C(－1,2)．

x＋1＝0，

∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，

即x2＋y2＋2x－4y＝0. 4．方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r＞0)的圆，则该圆的圆心在(

) A．第一象限

C．第三象限

答案

D 解析

因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，

a3又方程可化为(x＋)2＋(y－a)2＝－a2－3a，

24a3故圆心坐标为(－，a)，r2＝－a2－3a. 243由r2＞0，即－a2－3a＞0，解得－4＜a＜0，

4故该圆的圆心在第四象限．

5．若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则m的取值范围是(

) A．m＞0

1C．0＜m＜

2答案

C 111解析

x2＋y2－x＋y＋m＝0可化为(x－)2＋(y＋)2＝－m，

22211则－m＞0，解得m＜. 22因为点(1，－1)在圆外，所以1＋1－1－1＋m＞0，

1即m＞0，所以0＜m＜.故选C. 26．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是(

) A．(x＋3)2＋y2＝4 1B．m＜

21D．0≤m≤

2B．第二象限

D．第四象限

B．(x－3)2＋y2＝1 C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1 答案

C 解析

设P(x1，y1)，PQ的中点M的坐标为(x，y)，

3，x＝x＋2∵Q(3,0)，∴y＋0y＝2，11

∴x1＝2x－3，y1＝2y. 又点P在圆x2＋y2＝1上，

∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，故选C. 7．已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(

) 521254A.

B.

C.

D.

3333答案

B 解析

设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

1＋D＋F＝0，由题意得3＋3E＋F＝0，4＋3＋2D＋3E＋F＝0，43解得D＝－2，E＝－，F＝1. 3即△ABC外接圆的方程为

43x2＋y2－2x－y＋1＝0. 323∴圆心坐标为(1，)，

3∴圆心到原点的距离为

2322112＋＝. 338．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(

) A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0 答案

D

解析

设圆心C的坐标为(a,0)，a>0，

|3a＋4|∴d＝＝2，

5∴a＝2，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，

即x2＋y2－4x＝0. 二、填空题

9．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________. 答案

－2 aa解析

由题意知，直线l：x－y＋2＝0过圆心(－1，－)，则－1＋＋2＝0，得a＝－2. 2210．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为_____．

答案

(0，－1) 11解析

因为r＝k2＋4－4k2＝4－3k2，

22所以当k＝0时，r最大，此时圆的面积最大，

圆的方程可化为x2＋y2＋2y＝0，

即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．

11．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．

答案

(－∞，1) 解析

由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b＝4，

所以圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，

所以a＜5，由此得a－b＜1. 三、解答题

12．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．

DE解

圆心C的坐标为(－，－)，

22因为圆心在直线x＋y－1＝0上，

DE所以－－－1＝0，即D＋E＝－2.

22

①

②

D2＋E2－12又r＝＝2，所以D2＋E2＝20.

2D＝2，D＝－4，由①②可得或

E＝－4E＝2.

D又圆心在第二象限，所以－<0，即D>0，

2D＝2，所以

E＝－4，

所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 四、探究与拓展

13．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为(

) A．(－∞，－2)

C．(1，＋∞)

答案

D 解析

曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，则曲线C表示的是以(－a,2a)为圆心，2为半径的圆．要使圆C上所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a)必须在第二象限，从而有a>0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C的半径．易知圆心到两坐标轴的最短距离为|－a|，则有|－a|>2，故a>2. 14．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．

(1)求t的取值范围；

(2)求其中面积最大的圆的方程；

(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．

解

(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，

∴r2＝－7t2＋6t＋1>0，

1由二次函数的图象，解得－

7(2)由(1)知r＝－7t2＋6t＋1＝

316－7t－2＋，

77B．(－∞，－1) D．(2，＋∞) 314∴当t＝∈(－，1)时，rmax＝7，此时圆的面积最大，

777241316所对应的圆的方程是(x－)2＋(y＋)2＝. 7497(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)×(4t2)＋16t4＋9<0时，点P恒在圆内，

∴8t2－6t<0，

3∴0

43∴t的取值范围为(0，)．

4