1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积教学实录

高一数学必修一导学案 班级： 小组： 姓名： 组内评价: 教师评价：

1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

编制人：刘小靖

【考情概览】

年份

题号

考点

2018 16 2017 4 2016 6 2015 6.9 2014 5 几何体的表面积与体积

几何体的表面积与体积

几何体的表面积与体积

几何体的表面积与体积

几何体的表面积与体积

难度层次

简单

简单

简单

简单

简单

考查内容，方式，模型等

圆锥侧面积

圆柱与球的体积

组合体表面积

多面体与球的体积

组合体体积

学习目标：

1.会画棱柱、棱锥和棱台的侧面展开图,并能通过侧面展开图推导直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积公式.

2.记住直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积公式以及初中所学的圆柱的侧面积公式,并能运用公式求相应几何体的侧面积和表面积.

3.记住球的表面积公式,并能运用公式求球的表面积.

预习案

温故知新：

问题1:棱柱、棱锥和棱台的结构特征

直棱柱

正棱锥

正棱台

圆柱

圆锥

问题2:柱体、锥体、台体之间有什么联系?

1

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直棱柱定义：

正棱锥定义：

正棱台定义：

问题2：

（1）已知正四面体的所有边长为4，求它的斜高。

（2）已知正四棱台上底面边长为4，侧棱和下底面边长为8，求它的斜高。

探究案

探究一：棱柱、棱锥、棱台的表面积

问题1: 直棱柱、正棱锥、正棱台展开图是什么?该如何计算它们的表面积?

直棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算,可以先计算其侧面积,然后加上它们的底面积.

(1)从侧面展开图可知:直棱柱侧面积S侧=

ch ,底面周长为c,侧棱为h.

(2)正棱锥侧面积S侧=

' ,底面周长为c,斜高为h'.

(3)正棱台侧面积S侧=

c+c')h' ,上、下底面的周长分别为c'、c,斜高为h'

. (4)圆柱侧面积S侧=

c+c')h'

,底面圆半径为r，母线长为l. (5)圆锥侧面积S侧=

c+c')h'

,底面圆半径为r，母线长为l. 问题2: 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积计算公式有什么联系？

2问题3:球的表面积:设球的半径为R,则球的表面积S=

4πR

,即球的表面积等于它的大圆面积的

4

倍.

探究二：求棱柱、棱锥、棱台的表面积

1.已知正三棱锥的所有边长为4，求它的表面积。

2.已知正四棱台上底面边长为4，下底面边长为8，求它的全面积。

3.正四棱锥被过棱锥的高且平行于底面的平面所截，得到正四棱台和较小的棱锥，

（1）当截面过高中点时，求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比

（2）当截面分高为1:2时，求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比

2

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探究三：求球的表面积

1.

已知正方体的6个面与球相切，计算球的表面积和这个正方体的全面积之比

变式1：已知正方体的8个顶点都在同一个球面上，计算球的表面积和这个正方体的全面积之比

变式2：已知长方体的棱长为3,4,5，它的8个顶点都在同一个球面上，计算球的表面积和这个长方体的全面积之比

变式3：直三棱柱

中，已知

，

，BC3,AA13，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．

变式4：在三棱锥SABC中，底面ABC是直角三角形，其斜边AB4，

SC平面ABC，且SC22，则三棱锥的外接球的表面积为________.

课后思考问题：你学过的多面体中还有哪些也可以补成正方体或者长方体，进而解决外接球问题？

课后阅读：

数学文化：

如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑图案，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个圆柱的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现：圆柱表面积是球表面积的______.圆柱体积是球体积的________.

你的收获：_____________________________________________________________.

3

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训练案

1．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线为2，体对角线为6，则这个棱柱的侧面积是 (

) A．2

B．4

C．6

D．8 2．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则

该三棱锥的表面积(

)

3＋3A.4a2

3B.4a2

6

C.2a2

3D.3a2 3．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，这两个球的半径之差为(

)

A．4

B．3

C．2

D．1 154．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，则正三棱台的侧面积S1与底面面积之和S2的大小关系为 (

)

A．S1>S2

B．S1

C．S1＝S2

D．以上都不是

5．正四棱锥的侧面积为60，高为4，则正四棱锥的底面边长为(

)

A．24

B．20

C．12

D．6 6．底面是菱形的直棱柱，它的体对角线的长分别是9和15，高是5，则这个棱柱的侧面积是________．

7．长方体的体对角线长度是52，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是__________．

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