9.3 三角形的角平分线、中线和高获奖说课稿

9.3

三角形的角平分线、中线和高

1.理解三角形的角平分线、中线和高,会画出已知三角形的角平分线、中线和高.

2.了解三角形的重心.

1.经历画、折等实践操作活动过程,发展学生的空间观念、推理能力及创新精神.

2.学会用数学知识解决实际问题的能力,发展应用和自主探究意识,并培养学生的动手实践能力.

鼓励学生主动参与,感受成功的乐趣,体验几何知识在现实生活中的真实性,激发学生热爱生活、勇于探索的思想感情.

【重点】

1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念,会用工具准确地画出三角形的高、中线与角平分线.

2.了解三角形的三条中线所在直线相交于一点.

【难点】

1.三角形的角平分线与一个角的平分线的区别,三角形的高与垂线的区别.

2.钝角三角形的高的画法.

【教师准备】

三角板、直尺、量角器、PPT课件.

【学生准备】

三角板、直尺、量角器、三角形纸片.

导入一:

同学们,我们以前学习过了“过一点画已知直线的垂线”,谁能说一说是怎么画的?(学生们纷纷发言,老师可让几名学生在黑板上演示一下,然后让其他学生都拿出本来,过一点画已知直线的垂线,注意画法的规范性) 你们知道过三角形的一个顶点如何画三角形的高吗?这节课我们就来研究这个问题.

(老师书写板书) [设计意图]

本节的知识与以前学习过的“过一点画已知直线的垂线”的画法有着非常大的联系,此导入不仅复习了旧知识,也能对以后要学习的三角形的高起到预热的作用.

导入二:

同学们,现在看老师利用一支铅笔平整的一端就可以支起一个三角板(演示),你能做到吗?你知道这里面的数学知识吗?

[设计意图]

一堂新课的引入是老师与学生课堂活动的开始,一个成功的引入是让学生感受到他熟知的生活,可使学生迅速投入到课堂活动中来,对知识在最短的时间内产生极大的兴趣和求知欲,接下来的教学活动将成为他们的一种开心快乐的游戏.

[过渡语]

三角形的角平分线、中线和高是与三角形有关的重要线段,认识这些线段对于进一步研究三角形有着重要的作用.

活动1

三角形的角平分线

思路一

如图所示,已知△ABC,画出∠A的平分线.

定义:三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点间的线段叫做三角形的角平分线.

如图所示,在△ABC中,∠BAD=∠CAD,线段AD是△ABC的一条角平分线.

思路二

学生活动:同学们先画出一个任意三角形,分别画出一个三角形中的三个角的平分线?同时观察这三条角平分线的位置有哪些特点? (要提醒学生三角形的形状多样,同时要注意作图的规范性,可用量角器量) 师生共同得到三角形的角平分线定义:三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点间的线段叫三角形的角平分线.

(最后老师要强调三角形的角平分线是三条线段,而一个角的平分线是一条射线) [设计意图]

通过与以往角的平分线的画法比较,学生会比较容易接受此定义,既复习了旧知识,又能促进对新知识的理解.

表述:如图所示,因为BD是△ABC的角平分线(已知),所以∠ABD=∠CBD=∠ABC;因为∠ABD=∠CBD或∠CBD=∠ABC或∠ABD=∠ABC(已知),所以线段BD是△ABC的角平分线.(角平分线定义)

活动2

三角形的中线

[过渡语]

你能画一条线将三角形的面积分成相等的两部分吗? (学生思考,尝试,引出定义)下面我们就引入三角形的另一条特殊的线段——三角形的中线.

学生活动一:学生们动手画图,之后同桌之间研讨,并且要学生们说出所画出的线的特点,为什么它就能把三角形的面积分成相等的两部分?它是线段吗? 师生共同总结三角形的中线定义:连接三角形顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线.

[设计意图]

让学生们自己动脑思考,这样得出的结论,学生印象更深刻,对于知识的理解与掌握更全面.

学生活动二:让学生任意地画出一个三角形,画出这个三角形的三条中线,然后分析这三条中线的位置关系,同桌之间互相研讨.

(老师可多让几名同学发言,分别指出它们画出的是什么样的三角形,这样三角形的任意性就有了) 师生共同总结:任意三角形的三条中线都交于一点,三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.

[设计意图]

让学生们自己得出三角形的三条中线交于一点的结论,并且在与同桌的研讨中,发现学习的乐趣与分享的快乐.

[知识拓展]

(1)一个三角形有三条中线,并且都在三角形内部相交于一点.

(2)三角形的中线是一条线段.

(3)三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.

活动3

三角形的高

学生阅读教材,完成下列问题.

1.从三角形的一个顶点向

作垂线,顶点和

之间的

叫做三角形的高线,简称三角形的高.

2.三角形的高是一条

(

)

A.直线

B.射线

C.线段

D.不确定

3.如图所示,线段AF是BC边上的高.

因为AF是BC边上的高, 所以

⊥

, 所以∠

=∠

.

(第3题图)

(第4题图)

4.如图所示,CD是△ABC的高,且CD=5,S△ABC=25,则AB=

.

〔答案〕

1.它对边所在直线

垂足

线段

2.C

3.AF⊥BC AFB AFC 4.10 [设计意图]

学生带着问题进行自主探究;教师前后巡视,提示学生用笔圈出重点字句,检查他们对于导学问题的完成情况,对个别没有自学意识的学生进行鼓励.

[知识拓展]

任何三角形的平分线都在三角形的内部,高却不同,直角三角形和钝角三角形都有一条高在其内部,直角三角形另外两条高在边上,钝角三角形的另外两条高在三角形的外部.

1.在三角形中,一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.

2.把一条线段分成两条相等线段的点是线段的中点.在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形的中线.

三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心.

3.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高.

1.(长沙中考)如图所示,过△ABC的顶点A,作BC边上的高,以下作法正确的是 (

)

解析:根据三角形的高的定义可知A正确.故选A. 2.如图所示,在△ABC中,D,E分别为BC,AD的中点,且△ABC的面积为4,则图形中阴影部分的面积是

(

) A.2 B.1 C.

D.

解析:因为点D是BC边的中点,所以BD=CD,以△ABD的边BD为底的高与以△ACD的边DC为底的高是相同的,所以△ABD与△ACD是等底同高的两个三角形,可知△ABD与△ACD的面积是相等的,它们的面积都是△ABC面积的一半.又因为△ABC的面积为4,所以S△ACD=S△ABC=×4=2.同理可知S△ACE=S△ACD=×2=1.故选B.

(第2题图)

(第3题图)

3.如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC且与BC相交于点D,∠B=40°,∠BAD=30°,则∠C的度数是

(

) A.70°

B.80°

C.100°

D.110°

解析:利用三角形角平分线的性质和内角和是180°的性质求解.因为AD平分∠BAC,∠BAD=30°,所以∠BAC=60°,所以∠C=180°-60°-40°=80°.故选B.

4.如图所示,在△ABC中,∠BAC=80°,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线,∠B=60°,求∠DAE的度数.

解:由于∠BAC=80°,AE是∠BAC的平分线, 所以∠BAE=∠BAC=40°.

因为AD是高,所以∠ADB=90°, 所以∠BAD=90°-60°=30°.

所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°.

9.3

三角形的角平分线、中线和高

活动1

三角形的角平分线

活动2

三角形的中线

活动3

三角形的高

一、教材作业

【必做题】

教材第111页习题A组的第1,2题.

【选做题】

教材第111页习题B组的第2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图所示,AD,BE,CF分别是△ABC的高、中线、角平分线,下列表达式中错误的是

(

) A.AE=CE

B.∠ADC=90°

C.∠CAD=∠CBE

D.∠ACB=2∠ACF

2.三角形的三条重要线段中,能把三角形的面积分成两个相等部分的是 (

) A.中线

B.高

C.角平分线

D.以上三种情况都正确

3.如图所示,当

=

时,AD是△ABC的中线;当

=

时,AD是△ABC的角平分线.

(第3题图)

(第4题图)

4.如图所示,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠ACD=40°,则∠EBC=

度.

5.在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长是36米,△ABD的周长为28米,求AD的长.

【能力提升】

6.小明说:有这样一个三角形,它两条边上的高的交点正好是该三角形的一个顶点.小明说的这个三角形一定

(

) A.是钝角三角形

B.是直角三角形

C.是锐角三角形

D.不存在

7.如图所示,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点,∠A=50°,则∠D等于

(

) A.15°

B.20°

C.25°

D.30°

(第7题图)

(第8题图)

8.如图所示,BM是△ABC的中线,若AB=5 cm,BC=13 cm,那么△BCM的周长与△ABM的周长之差是

cm.

9.如图所示,△ABC的三条角平分线AD,BE,CF交于一点O,OG⊥BC于G.说明∠BOD=∠COG.

(第9题图)

10.如图所示,在锐角三角形ABC中,CD,BE分别是AB,AC上的高,且CD,BE交于一点P,若∠A=50°,求∠BPC的度数.

【拓展探究】

11.如图所示,在△ABC中,E是BC上的一点,EC=2BE,点D是AC的中点,设△ABC,△ADF,△BEF的面积分别为S△ABC,S△ADF,S△BEF,且S△ABC=12,则S△ADF-S△BEF=

.

(第10题图)

(第11题图)

12.如图所示,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB.

(1)若∠A=60°时,则∠O=

度.

(2)若∠A=100°时,则∠O=

度.

(3)由(1)(2)你发现了什么规律?当∠A的度数发生变化后,你的结论仍成立吗?为什么? 【答案与解析】

1.C(解析:因为AD是高,所以∠CAD与∠ACB互余,因为BE是中线,所以∠CBE与∠ACB不一定互余,所以∠CAD,∠CBE不一定相等.) 2.A(解析:由于三角形一边上的中线把这条边分成相等的两部分,根据等底同高的三角形面积相等即可确定,能把三角形的面积分成两个相等部分的是中线.) 3.BD DC ∠BAD ∠DAC(解析:根据三角形的角平分线和中线定义即可求得.) 4.140(解析:首先根据余角的性质求出∠ABC的度数,再根据邻补角定义求出∠EBC.因为在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,所以∠ABC=90°-∠BCD=∠ACD=40°,所以∠EBC=180°-∠ABC=140°.) 5.解:因为AB=AC,AD是中线,△ABC的周长是36米,所以AB+BC+AC=2(AB+BD)=36(米),所以AB+BD=18(米),因为△ABD的周长为28米,所以AB+BD+AD=28(米),所以AD=10米.

6.B(解析:直角三角形三条高的交点是直角顶点.) (第12题图)

7.C(解析:如图所示,因为∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点,所以∠1=∠ACE,∠2=∠ABC,又∠D=∠1-∠2,∠A=∠ACE-∠ABC=2∠1-2∠2=2∠D,所以∠D=∠A=25°.) 8.8(解析:△BCM的周长为BC+CM+BM,而△ABM的周长为AB+BM+AM,由BM是△ABC的中线可得AM=MC,两周长相减即为BC-AB=13-5=8(cm).) 9.解:因为O为三个内角平分线的交点,所以∠AOB=180°-(∠ABC+∠BAC)=180°-(180°-∠ACB)=90°+∠

ACB,∠BOD=180°-∠AOB=90°-

∠ACB=90°-∠OCD,因为OG⊥BC于G,所以∠GOC=90°-∠OCD,所以∠BOD=∠COG.

10.解:由于CD,BE分别是AB,AC上的高,所以△ADC和△AEB都是直角三角形,由于∠A=50°,所以在直角三角形ADC中,∠ACD=90°-50°=40°.在直角三角形PCE中,∠EPC=90°-∠ACD=90°-40°=50°.由于∠BPC与∠EPC互为补角,所以∠BPC=180°-∠EPC=180°-50°=130°.

11.2(解析:S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE,所以求出△ABD的面积和△ABE的面积即可,因为EC=2BE,点D是AC的中点,且S△ABC=12,就可以求出△ABD的面积和△ABE的面积.因为点D是AC的中点,S△ABC=12,所以S△ABD=

×12=6.因为

EC=2BE,所以S△ABE=

×12=4,所以S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE=6-4=2.)

12.(1)120(解析:因为BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,所以∠1+∠4=(180°-∠A)=×(180°-60°)=60°,所以∠O=180°-(∠1+∠4)=180°-60°=120°.)

(2)140(解析:因为BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,所以∠1+∠4=(180°-∠A)=×(180°-100°)=40°,所以∠O=180°-(∠1+∠4)=180°-40°=140°.)

(3)解:规律:∠

O=90°+

∠A.∠A的度数发生变化后,结论仍成立.理由如下:因为BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,所以∠1+∠4=(180°-∠A),所以∠O=180°-(∠1+∠4)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A.

本节主要是学习三角形的角平分线、中线以及高的概念,教学中充分地发挥学生的动手操作能力,利用了折纸和画图等方法来认识了解它们,并通过这些操作让学生发现中线、角平分线的性质,使学生具有了初步的推断说理能力.本节课采用“自主探究、合作交流”的方式组织教学,让学生在自主探索与合作交流相结合的方式下进行学习.

在以往学习经验的基础上,学生通过教师的引导可以自主完成本课时的学习.本课时只把三角形的高相关的部分交给学生自学,这在一定程度上压制了学生学习的主动性和探索问题的空间.

为了让学生们对三角形的中线、角平分线、高的知识掌握的更深刻,增加一些小练习,即在每讲完一个知识点后,给出一些基本的小练习.本节的难点是钝角三角形高线的画法,可多增加些时间,让学生们多练习一下,教师可增加些判断题、选择题和操作的题型,以增加学生对知识的巩固和提高.

练习(教材第110页) 1.提示:相等的角:∠BAE=∠CAE,∠AFB=∠AFC=90°,相等的线段:BD=CD.

2.解:如下表所示:

锐角三角形

直角三角形

钝角三角形

三条

中线

三条角

平分线

三条高

习题(教材第111页) A组

1.解:因为∠B+∠C+∠BAC=180°,所以∠B=180°-∠C-∠BAC=180°-60°-40°=80°.因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD=

∠BAC=20°.因为AE是高,所以∠AEB=90°,所以∠BAE+∠B=90°,所以∠BAE=90°-∠B=90°-80°=10°,所以∠DAE=∠BAD-∠BAE=20°-10°=10°.

2.解:因为CE是高,所以∠BEC=90°.因为BD是角平分线,所以∠DBE=∠ABC=×62°=31°,所以∠BOC=∠

DBE+∠BEC=31°+90°=121°.

B组

1.解:因为AD是高,所以∠ADB=90°,所以∠DBF=90°-∠BFD=90°-70°=20°.因为BE是角平分线,所以∠ABC=2∠DBF=2×20°=40°.因为∠BAC+∠ABC+∠C=180°,所以∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-40°-30°=110°.

2.解:(1)因为AD是中线,所以BD=CD,所以S△BDA=S△CDA=S△ABC=×10=5. (2)能,能,能.

复习题(教材第113页) A组

1.100°

2.解:设三角形第三边的长为x cm,周长为c cm,则三角形的第三边的长的取值范围是10-6

3.解:由题意知∠A=∠C+10°,∠B=2∠C-10°.因为∠A+∠B+∠C=180°,所以∠C+10°+2∠C-10°+∠C=180°,所以∠C=45°,所以∠A=55°,∠B=80°.

4.解:因为∠A+∠B+∠C=180°,∠ADE=∠C,所以∠A+∠B+∠ADE=180°.又因为∠A+∠AED+∠ADE=180°,所以∠A+∠B+∠ADE=∠A+∠AED+∠ADE,所以∠B=∠AED.

5.解:因为CD⊥AB,所以∠ADC=90°,所以∠A+∠ACD=90°.因为DE⊥BC,∠ACB=90°,所以∠DEB=∠ACB=90°,所以DE∥AC,所以∠ACD=∠CDE.因为∠A=3∠CDE,所以∠A=3∠ACD,所以4∠ACD=90°,所以∠ACD=22.5°,所以∠A=3×22.5°=67.5°,所以∠B=90°-∠A=90°-67.5°=22.5°.

6.解:△ABC的一个内角为40°, ∠A=∠B,所以有两种情况:①∠A=∠B=40°,则∠C=100°,则△ABC的外角分别是140°,140°,80°;②∠C=40°,则∠A=∠B=70°,则△ABC的外角分别是110°,110°,140°.

7.解:因为DE∥AB,所以∠ADE=∠DAB.因为DF∥AC,所以∠ADF=∠DAC.因为AD平分∠BAC,所以∠DAB=∠DAC,所以∠ADE=∠ADF.

B组

1.解:可能的最大边长是5.理由如下:设三角形的另外两条边长分别为x,y,且x

,

,

,

,都是正整数,所以

或

或

因为长度为1,4,6的三条线段不能构成三角形,所以

舍去.

,

,

.

因为长度为2,4,5或3,4,4的三条线段能构成三角形,且4<5,所以三角形可能的最大边长是5.

2.解:因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°,所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-35°=145°.因为∠ABD=20°,∠ACD=25°,所以∠DBC+ ∠DCB=(∠ABC+∠ACB)-(∠ABD+∠ACD)=145°-(20°+25°)=100°.因为∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°,所以∠BDC=180°-100°=80°.

3.解:(1)因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°,所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°.因为∠CBM=∠

ABC,∠BCM=

∠ACB,所以∠CBM+∠BCM=

(∠ABC+∠ACB)=

×140°=70°,所以∠BMC=180°-(∠CBM+∠BCM)=180°-70°=110°. (2)因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°,所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°.因为∠BCN=

(180°-∠ACB)=90°-

∠ACB,∠CBN=

(180°-∠ABC)=90°-

∠ABC,所以∠BCN+∠CBN=90°-

∠ACB+90°-

∠ABC=180°-

(∠ACB+∠ABC)=180°-

×140°=110°.因为∠BNC+∠CBN+∠BCN=180°,所以∠BNC=180°-(∠CBN+∠BCN)=180°-110°=70°.

4.解:如图所示,延长BD交AC于点E.由题意得∠BDC=∠C+∠CED=∠C+∠A+∠B=25°+90°+30°=145°,142°<145°,所以这个零件不合格.

C组

1.提示:(1)∠BAC+∠B+∠BCA=180°,∠DAC+∠D+∠DCA=180°,∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°. (2)∠EAB+∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=180°×3=540°.

2.(1)①3

②6

③10

(2)( )( )

如图所示,在△ABC中,AD是角平分线,∠B=60°,∠C=45°,求∠ADB和∠ADC的度数.

〔解析〕

在△ABC中,由∠B与∠C的度数,利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数,由AD为∠BAC的平分线,利用角平分线定义求出∠BAD的度数,在△ABD中,由∠B与∠BAD的度数求出∠ADB的度数,即可求出∠ADC的度数.

解:因为∠B=60°,∠C=45°, 所以∠BAC=180°-60°-45°=75°, 因为AD为∠BAC的角平分线, 所以∠BAD=∠CAD=∠BAC=37.5°, 在△ABD中,∠ADB=180°-∠BAD-∠B=82.5°, 所以∠ADC=180°-∠ADB=97.5°.

如图所示,在△ABC中,AD,BE,CF是三条中线,它们相交于同一点G,△AGF的面积和△AGE的面积是否相等?为什么? 〔解析〕

三角形的中线可将三角形的面积分成面积相等的两部分,本题中除了AD,CF,BE可以看做中线外,GF,GE,GD也可以看做中线.

解:这两个三角形的面积相等.

理由如下:因为AD是BC边上的中线, 所以BD与CD相等, 又因为△ABD和△ADC的高是同一条, 所以△ABD的面积和△ADC的面积相等, 同理可知△BGD的面积与△CGD的面积相等.

利用等式的性质:△ABG的面积与△AGC的面积也相等.

因为BE,CF是△ABC的中线,所以由“同高等底的两个三角形的面积相等”可以知道:△AGF与△BFG的面积相等,△AGE与△GEC的面积相等.从而可以知道:△AGE与△AGF的面积相等.

[解题策略]

寻找这两个三角形的关系,要求面积,需知面积公式,即:三角形的面积=×底×高.本题运用了同高等底的两个三角形的面积相等.