3.1 数系的扩充PPT专用课堂实录内容

3.1数系的扩充

江苏省金湖中学 徐承群

配苏教版普通高中课程标准实验教科书

一、教学目标

1、知识与技能

（1）了解数系的扩充过程（2）理解复数的基本概念与复数相等的充要条件

2、过程与方法

（1）通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. （2）类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念，复数相等的充要条件并运用于解题。

3、情感态度与价值观

（1）虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。（2）初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和处理问题。

二、教学重点与难点 1、对引入复数的必要性认识，理解复数的基本概念。

2、虚数单位i的引进，复数的概念。

三、教学方法与手段

启发引导、类比探究、多媒体设备、课件

四、教学过程

引入：前几天，表弟小强问我这样一个问题：“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”存在这两个数吗？

学生1： x(10-x)=40 ∴x2-10x+40=0 ∴

△=100+60=-60<0 不存在这两个数

xy2学生2: (2)xy≤()=25 2问1：但是我认为5+15和5-15满足，你们怎么看？

问2：那么我们争论的焦点是什么？ 学生：15是否存在，既负数能否开平方。

15真的是无意义的、虚幻的吗？正如同学们所分析的，实数系里负数不能开平方，要是能解决负数能开平方这个矛盾。数的概念需要进一步发展，实数系需要扩充。这就是本节课我们要研究的内容——§3. 1数系的扩充

设计意图：提出某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾，从而表明数的概念需要进一步发展，实数集需要进一步扩充。

问3:应该如何进行数的扩充呢？到目前为止，大家已经知道，数系经历了三次扩充，就让我们通过回忆，从中寻找数系扩充的原因与方法。

自然数N x+1=0 负整数

整数Z 2x-3=0 

分数

有理数Q x2 =2 

无理数 实数R x2 =-1  问4：在新的数集中，原有运算及性质适用吗？

现在我们把实数系进行扩充,为此我们引入1，为了方便我们规定： （1） i2=-1 （2）

实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立

问5:既然实数可以与i进行四则运算,那么你能举出一些虚数来吗? 学生: i 2i 3+2i 5+2i 问6:虚数可以用i表示成什么形式?请同学们讨论. 学生:a+bi (a,b∈R) 问7:这种形式能表示实数吗?你可以举几个例子吗? 学生:能,比如0,4,2009

a+bi a,b∈R 既能表示实数，又能表示虚数,我们统称为复数C.一般用小写的z= a+bi a,b∈R表示.因此我们的实数系扩充到了复数系. 自然数N x+1=0 负整数

整数Z 2x-3=0 

分数

有理数Q x2 =2 

无理数 实数R x2 =-1 

虚数

复数

问8: 那么z=a+bi a,b∈R 什么时候表示实数，什么时候表示虚数？

学生:当b=0时表示实数,当b≠0时表示虚数. 问9:请大家观察虚数里也有两种不同的形式? 学生: b≠0且a=0纯虚数.

问10:那么给b起个名字? 学生:虚部

问11:相应的a呢? 学生:实部

例1.判断下列各数哪些是实数、虚数、纯虚数，并指出它们各自的实部和虚部。

122i，2i，，3i，i, 0 32例2：实数 m取什么值时，复数z=m(m-1)+(m-1)i 是(1)实数(2)虚数(3)纯虚数

例3：已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i 求实数 x,y 的值. 五．师生小结

那么，通过这堂课的学习你有哪些收获？

六、教学设计说明

复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类

复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对数的概念有一个完整的认识，也为学生进一步学习数学打下基础。通过本章的学习，要使学生在问题情境中了解数系的扩充过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用

由16世纪意大利数学家卡尔丹讨论的问题引出负数不能开平方这个矛盾，从而产生了实数系需要进一步扩充的愿望。那么怎么扩充？扩充的方法是什么？让学生自然而然的想到从自然数N到整数Z到有理数Q再到实数R扩充过程中找到方法与要求。目的是使学生利用已有知识与经验，同化和索引出当前学习的新知识，这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。

同时在回忆的过程中让学生体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受数与现实世界的联系；渗透每一次扩充都是为了解决一个矛盾、

扩充之后原有数集的运算及其性质仍然适用、新的数集中的数都可用旧的数集中的数来表示等等。让新数i及其两个性质的出现显得自然和有必要。

让学生多举出虚数的例子，一方面感受实数可以与i进行四则运算，原有的加法、乘法运算律仍然成立；另一方面为了学生能特殊到一般得到a+bi a，b∈R的形式，为了复数的概念提出奠定了基础。

例1的设置为了巩固复数的相关概念。例2的设置进一步理解什么是实数？什么是虚数？什么是纯虚数？特别要讲清楚当a=0且b≠0时才是纯虚数。例3的设置是为了引出两复数相等的充要条件，我们要给学生充分的时间去思考，遇到等式应该怎么处理，让学生自动的想到移项，从而转化为实数0，进一步加深学生对复数概念的理解。我们在讲解例3时，不仅在于怎样解，更在于为什么这样解，而及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。

课后练习1、2、3、4

让学生课上限时完成，使学生能巩固自觉运用所学知识与解题思想方法。

总结结论，强化认识。知识性内容的小结，可把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质；数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。

布置作业。针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有佘力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的。