1.3 二项式定理（通用）优秀公开课教案

1.3.1 二项式定理

【教学目标】

1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；

2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。

【教学重难点】

教学重点：二项式定理的内容及归纳过程

；

教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。

【教学基本流程】

ab展开式是什么？提问：n探究ab的展开式2

让学生探究ab,ab的展开式

34得出二项式定理猜想证明二项式定理

【教学过程】

一、设置情景，引入课题

二项式定理研究的是ab的展开式。那么，ab的展开式是什nn么呢？我们在计数原理这一章来学习它，说明它的展开式与分类加法计数原理、分步乘法计数原理以及排列、组合的知识有关。那么如何把二项展开式与这些知识联系起来呢？

二、引导探究，发现规律

如何利用两个计数原理得到ab,ab,ab的展开式？你能234

由此猜想一下ab的展开式吗？

n问题

（1）提出问题，简述讨论的思想方法。设计意图

提出课题，回顾相关知识

师生活动

教师提出课题：二项式定理是研究ab的nab2的展开过程是怎样的？

展开式的问题。先从简单的ab的展开式2开始。并引导学生关注展开的两个步骤：用乘法法则展开；合并同内项

（2）用乘法法则展开ab2，合并同类项之前展开式有多少项？用两个计数原理分析。

（3）展开式中同类项的形式是怎样的？每一类型的项的个数怎样计数？

引导学生将ab2的展开式与两个计数原理联系起来。

教师提醒学生：用计数原理分析展开式的项数，应当分析项中的字母是如何取的。

引导学生用计数原理分析同类项的个数，得到ab展开式2教师引导学生分析展开式中同类项的形式和每一种类型的项的个数。教师要提醒学生注意将项的形式归结为a2k的系数

bk对分析展开式的意义。

（4）你能仿照上述过程推导一下巩固已有的方法，建立猜想二项式定理的认知基础

学生独立完成，并由学生自己讲解过程

ab3,ab4的展开式吗？

（5）你能猜想一下得出二项式定理

abn的展开式并给出证明吗？

先由学生独立完成，然后组织全班讨论。讨论过程中要明确每一项的形式及相应个数

三、形成定理，说理证明

问题4：（a+b）n的展开式又是什么呢？

合作探究2: (1) 将（a+b）n展开有多少项？

（2）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？

（3）字母“a”、“b”指数的含义是什么？是怎么得到的？

（4）如何确定“a”、“b”的系数？

0n1n1knkknn猜：(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

证明：对（a+b）n分类，按b可以分n+1类，

1nn-1（1）不取b：C0n

a；

（2）取1个b：Cn

ab；

n-22（3）取2个b：C2n

ab；………………

nn-kkn（k+1）取k个b：Ckn

ab；………………(n+1)取n个b：Cn

b；

然后将这n+1个式子加起来，就得到二项展开式，

0n1n-1kn-kknn(a+b)n=Cna+Cnab+…+Cnab+…+Cnb(n∈N+) 这就是二项式定理。

四、熟悉定理，简单应用

二项式定理的公式特征（由学生归纳，让学生熟悉公式）

（1）项数：共有n+1项；

（2）次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n；

（3）二项式系数：下标为n，上标由0递增至n；

n-kk（4）通项:Tk+1= Ck指的是第k+1项，该项的二项式系数为Ck

n

ab；n；（5）公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫做（a＋b）n的二项展开式。

（6）你能得到1x的展开式吗？

n

122kknn1xnCn0CnxCnxCnxCnx

例1

求(2x1x)6的展开式，第三项的二项式系数和系数分别为？第三项是？

分析：为了方便，可以先化简后展开。

例2

(12x)的展开式为？第4项的系数及第4项的二项式系数是？（区分系数及二项式系数的概念）

例3、化简x14x16x14x11（公式的逆用）

4327

五、课堂练习

1、在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) (x-5)的展开式中含x4项的系数是

(

) A. -15

B. 85

C. -120

D. 274 2. 求x2y-z的展开式中含xyz项的系数.（15年高考改编）

623（加深对定理的理解）

六、课堂小结

1.知识收获：二项式定理；二项式定理的表达式及展开式的通项、二项式系数与系数的概念. 0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

2.方法收获：正确区分“项的系数”和“二项式系数”

1.

思想方法：（1）从特殊到一般的思维方式. （2）用计数原理分析二项式的展开过程. 七、教后记：