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第二章

随机变量及其分布小结与复习

学习目标

1 在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。

2 通过实例，理解超几何分布及其推到过程，并能进行简单的应用。

3 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际应用。

4 理解离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量得均值、方差，并能解决一些实际问题。

5 通过实际问题，借助直观模型，认识正态分布曲线的特点及表示的意义。

教学重难点

重点：

理解随机变量及其分布的概念，期望与方差等的概念；超几何分布，二项分布，正态分布等的特点；会求条件概率，相互独立事件的概率，独立重复试验的概率等.

难点：

理清事件之间的关系，并用其解决一些具体的实际问题. 能力点：分类整合的能力，运算求解能力，分析问题解决问题的能力. 教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构. 自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻. 易错点：容易出现事件之间的关系混乱，没能理解问题的实际意义. 教学过程

一、知识结构

二、要点归纳

1．随机变量

⑴随机变量定义:在随机试验中，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．简单说，随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．常用希腊字母x、y、、等表示．

⑵如果随机变量可能取的值可以按次序一一列出（可以是无限个）这样的随机变量叫做离散

型随机变量. ⑶如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2．概率分布定义（分布列）

设离散型随机变量可能取的值为x1,x2,x3,率P(xi)pi，则称表

,xi，取每一个值xi(i1,2,)的概

P

x1

P1

x2

xi

Pi

P2

称为随机变量的概率分布列，简称的分布列. 注:1.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：

(1)pi≥0,i1，2，3，；(2)p1p2p31

3．常见的分布列

⑴二项分布：在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件kk恰发生k次的概率为p(Xk)Cnp(1p)nk，显然x是一个随机变量.随机变量x的概率分布如下：

x

0

1

11n1Cnpq

k

kknkCnpq

n

nn0Cnpq

P

00nCnpq

我们称这样的随机变量x服从二项分布,记作X~B(n,p)

⑵两点分布列:如果随机变量的分布列为：



P

0

1P

1

P

这样的分布列称为两点分布列,称随机变量两点分布是特殊的二项分布(1p)

服从两点分布,而称pP(1)为成功概率.⑶超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有x件次品数，则事件xkkNCMCN发生的概率为P(Xk)nCNkMk,．,其,中0,1,2m,3mminM,n,且nN,MN,n,M,NN*，则称分布列

x

0

1

m

P

0n01n1CMCNCMCNMM

nnCNCN

mnmCMCNM

nCN为超几何分布列，如果随机变量x的分布列为超几何分布列，则称随机变量x服从超几何分布．

4．条件概率

一般地,设A,B为两个事件,且P(A)0,称P(B|A)下,事件B发生的条件概率. 注意:⑴0≤P(B|A)≤1；

⑵可加性：如果B和C互斥，那么P(B5．相互独立事件的概率

⑴相互独立事件的定义: 设A,B两个事件, 若P(AB)P(A)P(B) (即事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响), 则称事件A与事件B相互独立. 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立:①A与B；

②A与B；

③A与B.

列表比较区别

定义

概率公式

互斥事件

相互独立事件

P(AB)

为在事件A发生的条件P(A)C)|AP(B|A)P(C|A)

事件A是否发生对事件B发生的概率没不可能同时发生的两个事件

有影响

P(AB)P(A)P(B)

P(AB)P(A)P(B)

解决概率问题的一个关键：分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件. ⑵n次独立重复试验: 一般地,在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验. 在n次独立重复试验中，记Ai是“第i次试验的结果”，

显然，P(A1A2重要结论：

2结论1：若ab,则EaEb，DaD

An)=P(A1)P(A2)P(An)

结论2：若~B(n,p)，则EnP,Dnp(1p)

特别地，若服从两点分布，则EP,Dp(1p)

6．正态分布

⑴正态分布密度曲线

(x)12e(x)222,x(,)(0)分别表示总体的平均数与标准差，这个总体是有无限容量的抽象总体，其分布叫做正态分布. 正态分布完全由参数和确定,因此正态分布常记作N(,2).如果随机变量服从正态分布,则记为N(,2)

⑵正态曲线有以下特点：

①曲线在x轴的上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，图像关于直线x对称；

③曲线在x处达峰值12；④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤若固定, 随值的变化而沿x轴平移, 故称为位置参数；

⑥当一定时，曲线的形状由确定. 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，故称为形状参数.

⑶3原则：P(X)0.6826，P(2X2)0.9544，P(3X3)0.9974

三、解法小结

1.离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几何分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较为广泛，故在高考中对该知识点的考查相对较灵活，常与期望、方差融合在一起，横向考查．

2.对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法，计算时可能会用到等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式等．

3.均值与方差都是随机变量重要的数字特征，方差是建立在均值这一概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高考中是一个热点问题．

4.本章知识在高考中占有十分重要的地位，这是因为：一方面本章知识在实际生活中应用十分广泛；另一方面本章知识又是进一步学习高等数学知识的基础．从近几年高考试题来看，一般是一小(一个选择或填空题)一大(一个解答题)，属中档难度试题，主要考查概率的求法、随机变量的分布列、以及随机变量的期望方差等问题