小结教案设计

3.4

基本不等式的应用

一、课前准备

1．课时目标

（1）通过学习，进一步加深对基本不等式的理解，能灵活地用基本不等式解决有关问题。

（2）理解用不等式abab求最值的条件，并能求实际问题的最大值或最小值。

2

（3）通过本节的探究过程，培养学生观察、比较、分析、归纳等数学意识与解决问题的能力。

2. 基础预探

（1）不等式abab中的a,b的取值范围是_____，等号成立的条件是______。

22ab（2）不等式ab

中的a,b的取值范围是______，等号成立的条件是______。2

（3）可化为yaxb型的函数，当ab>0且x0,时可用基本不等式求最值，若xa>0,b>0,则当x_______时，ymin__。若a0,b0,则当x___时，ymax___。

（4）对于正数x,y，若xys,则xy有最____值是____，若xyp,则xy有最____值是______。

二、基本知识习题化

111．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的取值范围是(

) abA．(2，＋∞)

B．[2，＋∞)

C．(4，＋∞)

D．[4，＋∞) 112．已知正整数a，b满足4a＋b＝30，使得＋取最小值时，则实数对(a，b)是(

) abA．(5,10)

B．(6,6)

C．(10,5)

D．(7,2) 1，则函数yx(13x)的最大值是____

32x4．函数y2在x0时有最___值为____

x13．已知0x三、学习引领

1．基本不等式ab2aba,bR或22abab(a0,b0)具有将“和式”转化2为“积式”，以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能。

2. “和定积最大，积定和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；反过来，若积为定值，则可求其和的最小值，应用此结论须注意以下三点：一正、二定、三相等。

3. 有关二元多项式的最值，由于涉及两个未知数，使得变形方向不够明朗。变形过程中应围绕可以应用已知条件中的“和或积为常数”来进行，常用凑的方法。另外，“1”的代换也

是一种常用的方法。

4.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，ab2aba2b2例如：ab(),ab(a0,b0)等，同时还要注意不等式成222立的条件和等号成立的条件。

k形式的函数。这里t0，可以考虑应用均值不等式求解。围绕等t号成立的条件，发现使等号成立的条件与参数有关，针对k进行讨论，在等号不能成立时，5. 可以变形为yt则可考虑应用函数的单调性求解。

四．典例导析

题型一

函数方程与基本不等式

例1已知a0,b0,abab3，求ab的最小值。

思路导析：应用基本不等式可把条件ab转化为关于ab的不等关系，进而可求出ab的取值范围。

解析：a0,b0,abab32ab3,

ab22ab30,

ab3ab10,ab3或ab1（舍去）ab9等号成立的条件是ab且ab9即ab3时满足条件abab3，故ab的最小值为9. 规律总结：利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值的常用方法，应熟练掌握。

变式训练1 ：已知正数a,b满足2ab3,求ab21的最大值。

22

题型二

基本不等式的证明

例2. 如果ab,ab1,求证：a2b222ab

a2b222

思路导析：ab,ab0,若证ab22ab，只需证ab22a2b2a2b22ab2abab2ab解析：ab,ab0,ab1

ababab2

22

ab2ab22ababa2b222ab即a2b222ab

当且仅当ab2即ab2时取等号。

ab规律总结：在解答数学题的过程

中，把数值、整式合理地拆成两项或多项，或者恒等地配凑成适当的数或式，是数学表达式变形过程中常用的方法，这是一种解题技巧，要熟练运用这一技巧。

变式训练2：已知a,b,cR,abc1，求证：

题型三

利用基本不等式求最值

1119

abcx27x10x1的最小值。

例3.求函数yx1思路导析：对于本题中的函数式，可把x1看成一个整体，然后把函数转化为用x1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用基本不等式来处理。

解析：

x27x10x15x144yx152x1x1x12x1459

x1当且仅当x14即x1时等号成立。

x1x1时，原函数取得最小值为9. 规律总结：利用均值不等式求最值时，要满足“一正，二定，三相等”的条件，如果形式不满足，要首先化简整理，使其变为满足条件的形式，进而可以求得最值。

变式训练3：

求函数yx2的最大值。

2x5

题型四

基本不等式的实际应用

例4.围建一个面积为360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维2

修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为每米45元，新墙的造价为每米180元。设利用的旧墙长度为x（单位：m），修建此矩形围墙的总费用为y（单位：元）。

（1）将y表示为x的函数。

（2）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最小总费用。

思路导析：解决应用问题，关键是从实际问题抽象出数学问题，本题要先把y与x的函数式表示出来，然后结合基本不等式求出最值。

解析：（1）设矩形的另一边长为am，则

y45x180(x2)1802a225x360a360

3603602360(x0)

由已知xa360,得a。所以，y225xxx36022225360210800

（2）x0,225xx3602360236010440.当且仅当225x

y225x时，等号成立。即x24m

xx时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元。

规律总结：应用两个正数的均值不等式解决实际问题的方法步骤是：（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；（4）写出正确答案。

变式训练4：

过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：y920(0)．

231600（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）

（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

、

五．随堂练习

1.下列命题中正确的是

(

)

A.函数yx

B.函数y1的最小值为2 x2x23x2的最小值为2. 4x0的最大值为243。

x4

D. 函数y23xx0的最小值为243。

x

C.函数y23x12. 当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是(

) x－1A．(－∞，2]

B．[2，＋∞)

C．[3，＋∞)

D．(－∞，3] 2ab3. 已知x0,y0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y

成等比数列，则

cd

的最小值是（

）

A. 0

B.1

C.2

D. 4

4. 设x0，则函数y(x5．设x,yR

且12)1在x=________时，有最小值__________

x191,则xy的最小值为________

xy6．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，12其中m，n＞0，求＋的最小值．

mn

日日清

1.已知x,y为正实数，且x4y1,则xy的最大值为（

）

A.1111

B.

C.

D.

481632

2．某工厂第一年底的产量为P，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则有(

) a＋ba＋bA．x≥

B．x＝

22a＋ba＋bC．x≤

D．x＞

223.正数a,b满足ab1ab，则3a2b的最小值是______

4.已知a0,b0,求a216的最小值。

b(ab)5.若不等式xax10对一切x0,成立，求a的最小值。

221