小结第二课时教案

必修五第三章

不等式

一.知识梳理

1.不等式与不等关系

(1)不等式的主要性质

①传递性: a



b,

b



c



a



c ②加法法则: a



b



a



c



b



c ; a



b,

c



d



a



c



b



d (同向可加) a  b, c 

0

 ac  bc

③乘法法则: a



b,

c



0



ac



bc ; a  b 

0, c  d 

0

 ac  bd (同向同正可乘) ④倒数法则: a



b,

ab



0



1 1



a

b

(2)应用不等式的性质比较两个实数的大小:作差法(作差——变形——判断符号——结论) 2.解不等式

(1)一元二次不等式的解法（见书）

(2)分式不等式的解法

分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解. f(x)g(x)0f(x)f(x)

0f(x)g(x)0;0g(x)0g(x)g(x)(2)不等式的恒成立问题

常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题: 若不等式

f 若不等式

f

x

 A 在区间D上恒成立，则等价于在区间D上 ；

x

B 在区间D上恒成立，则等价于在区间D上 . abab

2223.基本不等式(1)若

a,b∈R,则

a+b≥2ab,当且仅当

（2）若

a,b

是正数,那么时取等号. abab(当且仅当a  b时取"

"号). 2基本不等式变形：a+b≥

；ab≤_________当且仅当

a=b

时取等号. 注意:①当两个正数的积为定值时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定值时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.②求最值的重要条件“一正,二定,三取等”

二.典型例题

题型一

不等式的性质

例1对于实数

a,

b,

c

中,给出下列命题：

①若ab,则acbc；②若acbc,则ab；③

若ab0,则aabb；

④

若ab0,则22222211ba；⑤

若ab0,则；⑥

若ab0,则|a||b|；

abab

⑦若cab0,则ab11；⑧

若ab,,则a0,b0.

cacbab其中正确的命题是

. 题型二

比较大小(作差法、函数单调性、中间量比较,基本不等式) 1a24a2,q2例2

设a2,pa，试比较p,q的大小. a2

练习1 若ab1,P关系是

题型二

解不等式

例3 解不等式（1）2x7x40

（2）4x4x10

（3）22lgalgb,Q1ab(lgalgb),Rlg(),则P,Q,R的大小225x1

x22x32练习

2

(1)不等式

ax



bx

12



0

的解集为{x|-1＜x＜2},则

a =_____, b=_______ (2)关于

x

的不等式

ax



b

 0 的解集为

(1,) ,求关于

x

的不等式

练习

3

解关于

x

的不等式

ax2(a

1)x

10

axb0的解集. x2题型四

恒成立问题

2例

4

(1)关于

x

的不等式

a x+ a x+1＞0

恒成立,则

a

的取值范围是_____________

(2)若不等式

x



2mx



2m

1



0

对

0



x

1的所有实数

x

都成立,求

m

的取值范围.

练习

4

已知

x



0,

y



0

且2191，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围. xy

题型五

求最值

例5 (直接用)求下列函数的值域

(1)

y3x

（配凑项与系数)(3)已知x211yx （2）

2x2x51，求函数y4x2的最大值. 44x5(4)当

0



x



4

时,求

y



x(8



2x)

的最大值.

x27x10(x1)的值域. 练习

5 (对勾函数型)(1)求yx1

注意：在应用基本不等式求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数f(x)x性. （2）求函数y

例

6 (条件不等式)(1)若实数满足

a



b



2

，求

3



3

的最小值

(2)已知

x



0,

y



0

，且aba的单调xx25x42的值域. 191,求xy的最小值. xy2y21,求x1y2的最大值. (3)已知

x,y为正实数，且x2(4)已知

a,b

为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y

1的最小值.

ab

题型七

实际应用问题

2例

8 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m

的三级污水处理池(平面图如图),如果池外圈周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建筑单价为每米

248 元,池底建造单价为每平方米

80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.