3.1.2 复数的几何意义优质课教案整理

§3.1.2 复数的几何意义

【学习目标】

1．理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的. 2．能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量. 3.会用复数的几何意义解决有关问题. 【重点难点】

重点: 复数与从原点出发的向量的对应关系．

难点：复数的几何意义. 【复习回顾】

1.若A(x,y)，O(0,0)，则OAx,y；

2.若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

【新课探究】

探究一、复数几何意义（一）

引导:复数zabia,bR与有序实数对a,b是 关系；若点Z的横坐标是a，纵坐标是b，则复数zabia,bR可用点 表示，其中这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做_______，x轴叫做_________，y轴叫做__________

y

bZa,b思考：⑴实轴上的点都表示________，原点表示

，

除了原点外，

0 虚轴上的点都表示

___________.

a

x

⑵在复平面内z=－5－3i对应的点______________，z=－3i对应的点______________，

实轴上的点2，0表示实数

，虚轴上的点0，1表示纯虚数_____________，

虚轴上的点0,5表示纯虚数____________；

复数z一一对应abia,bR复平面内点Z(a,b)

这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. 点拨：复数zabia,bR是由其实部a和虚部b共同决定，所以复数zabia,bR与有序实数对a,b是一一对应关系，和复平面内的点Za,b也是一一对应关系,这样就建立了复数和复平面内几何图形——点之间的关系，体现了数与形结合思想.

探究二、复数几何意义（二）

引导:复平面内的点与平面向量的对应关系：

一一对应Z(a,b)平面向量OZ

因此，我们可以用平面向量来表示复数，即：

1

一一对应复数zabia,bR平面向量OZ

同时我们把向量OZ的模叫做复数zabi的模，即有zabiOZ

. 点拨：复数zabia,bR与平面向量OZ建立了一一对应关系，从而可以利用平面向量知识来解决复数问题，实现了数与形的互化.

探究三、共轭复数

引导:像复数z23i和z23i这样，如果两个复数，实部

，虚部________________时，称这两个复数互为共轭复数，且zab的共轭复数记作z,即zab(ia,的共轭复数R)bR. _________z思考：（1）互为共轭复数的两个数所对应的点有什么关系？

（2）互为共轭复数的两个数的模有什么关系？

点拨：实部相等虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数，互为共轭复数的两个复数有较好的性质，譬如在复平面内对应的点关于x轴对称，两个复数的模相等等性质，为后续进一步研究复数提供便利.

【典例分析与练习检测】

例1在复平面内描出复数23i，84i，83i，6，i，29i，7i，0分别对应的点.

变式：说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小正方格的边长为1).

【练习检测】

1.在复平面内画出23i,42i,13i,4i,30i所对应的向量. 2.如果P是复平面内表示复数abia,bR的点，分别指出在下列条件下点P的位置：（1）

2

a0,b0；（2）a0,b0；（3）a0,b0；（4）b0；

a27a6z(a25a6)i(aR)2a1例2已知复数，试求实数a分别取什么值时，对应的点（1）在实轴上；（2）位于复平面第一象限；（3）在直线xy0上；（4）在上半平面（含实轴）

22z(m3m4)(m5m6)i表示的点（1）在虚轴上，求实数m的取值；变式：若复数（2）在右半平面呢？

【练习检测】

1.实数m取什么值时，复数m28m15m25m14i在复平面内所对应的点：

（1）位于第四象限；（2）位于直线yx上；

2.已知复数z的虚部为3，在复平面内复数z对应的向量的模为2，求复数z.

提示:可设复数za3i，根据复数z的模为2建立关于a的方程，解之即可.

3 

例3

若复平面内一个正方形的三个顶点对应的复数分别为z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，求这个正方形第四个顶点对应的复数.

【课后巩固】

1.下列命题（1）复平面内，纵坐标轴上的单位是i（2）任何两个复数都不能比较大小（3）任何数的平方都不小于0（4）虚轴上的点表示的都是纯虚数（5）实数是复数（6）虚数是复数（7）实轴上的点表示的数都是实数.其中正确的个数是（

）

A．3

B．4

C．5

D．6 2. 对于实数a,b，下列结论正确的是（

）

A．abi是实数

B．abi是虚数

C．abi是复数

D．abi0

3. 复平面上有点A，B其对应的复数分别为3i和13i，O为原点，那么是AOB是（

）

A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等腰直角三角形

D．正三角形

4. 若z12i，则|z|

5. 如果P是复平面内表示复数abi(a,bR)的点，分别指出下列条件下点P的位置：

（1）a0,b0

（2）a0,b0

（3）a0,b0

（4）b0

6．实数取什么值时，复平面内表示复数z(m28m15)(m25m14)i的点（1）位于第四象限？（2）位于第一、三象限？（3）位于直线yx上？

2. 在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数是2i（1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量OB对应的复数.（2）如果（1）中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.

【总结提升】

复数zabia,bR与复平面内的点Za,b是一一对应关系，与以原点为起点以

a,b为坐标的向量OZ是一一对应关系，从而建立了复数与复平面内的点及向量之间的关系，这为我们研究复数问题提供了行之有效的方法，也体现了数与形的有机结合.

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