1.不等式的基本性质第二课时教学设计

第1讲

不等式的性质与一元二次不等式

最新考纲

1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.

知

识

梳

理

1.两个实数比较大小的方法

a－b＞0⇔a＞b，(1)作差法a－b＝0⇔a＝b，

a－b＜0⇔a＜b；a(2)作商法b＝1⇔a＝b（a∈R，b＞0），

ab＜1⇔a＜b（a∈R，b＞0）.2.不等式的性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a；

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；

(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c≥b＋d；

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；

(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；

nn(6)可开方：a＞b＞0⇒a＞b(n∈N，n≥2). 3.三个“二次”间的关系

判别式Δ＝b2－4ac

二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)

有两相异实根

x1，x2(x1＜x2)

有两相等实根

bx1＝x2＝－2a

没有实数根

ax2＋bx＋c＞0 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ab＞1⇔a＞b（a∈R，b＞0），

的根

(a＞0)的解集

ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集

{x|x＞x2

或x＜x1}{x|x1＜x＜x2}

诊

断

自

测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)a＞b⇔ac2＞bc2.(

) (2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(

) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(

) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(

) 解析

(1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞b⇒/ ac2＞bc2.

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根.则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅.

(4)当a＝b＝0，c≤0时，不等式ax2＋bx＋c≤0也在R上恒成立. 答案

(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

2.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(

) abA.d＞c

abC.c＞d

abB.d＜c

abD.c＜d

精彩PPT展示

bx|x≠－

2aR

∅

∅

1111解析

因为c＜d＜0，所以0＞c＞d，两边同乘－1，得－d＞－c＞0，又a＞b＞abab0，故由不等式的性质可知－d＞－c＞0.两边同乘－1，得d＜c.故选B. 答案

B 3.设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于(

) A.(0，4]

C.[－1，0)

B.[0，4) D.(－1，0] 解析

∵M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1

∴M∩N＝[0，4). 答案

B

4.当x＞0时，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，则a的最小值为(

) A.－2

C.－1

B.－3 3D.－2

解析

当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，不等式x2＋ax＋1≥0对任意x＞0恒成a2－4＞0，2立，当Δ＝a－4＞0，则需a解得a＞2，所以使不等式x2＋ax＋1≥0－＜0，2对任意x＞0恒成立的实数a的最小值是－2. 答案

A 5.(必修5P80A3改编)若关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x－m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________. 解析

由题意知Δ＝[(m＋1)]2＋4m＞0.即m2＋6m＋1＞0，

解得m＞－3＋22或m＜－3－22.

答案

(－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)

考点一

比较大小及不等式的性质的应用

【例1】

(1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(

) A.c≥b>a

C.c>b>a

B.a>c≥b

D.a>c>b

111111(2)若a＜b＜0，给出下列不等式：①＜ab；②|a|＋b＞0；③a－a＞b－b；④ln a＋ba2＞ln b2.其中正确的不等式是(

) A.①④

B.②③

C.①③

D.②④

解析

(1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.

又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，

123∴b－a＝a－a＋1＝a－2＋4>0，

2∴b>a，∴c≥b>a.

11(2)法一

因为a＜b＜0，故可取a＝－1，b＝－2.

显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.

1111法二

由a＜b＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，aba＋b＞0.故有11＜ab，即①正确；

a＋b②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；

1111③中，因为b＜a＜0，又a＜b＜0，则－a＞－b＞0，

11所以a－a＞b－b，故③正确；

④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确. 答案

(1)A

(2)C 规律方法

(1)比较大小常用的方法

①作差法；②作商法；③函数的单调性法.

(2)判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除. 2x11－2【训练1】

(1)(2017·松滋期中)已知p＝a＋，q＝2，其中a>2，x∈R，a－2则p，q的大小关系是(

) A.p≥q

C.p

B.p>q

D.p≤q

cc(2)设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：①a＞b；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c).其中所有的正确结论的序号是(

) A.①

C.②③

B.①②

D.①②③

11＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3a－2a－2解析

(1)由a>2，故p＝a＋2x1－21－22时取等号.因为x－2≥－2，所以q＝2≤2＝4，当且仅当x＝0时取

等号，所以p≥q.

11cc(2)由不等式性质及a＞b＞1知a＜b，又c＜0，所以a＞b，①正确；构造函数y＝xc，∵c＜0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，又a＞b＞1，∴ac＜bc，知②正确；

∵a＞b＞1，c＜0，∴a－c＞b－c＞1，

∴logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)，知③正确. 答案

(1)A

(2)D 考点二

一元二次不等式的解法(多维探究) 命题角度一

不含参数的不等式

【例2－1】

求不等式－2x2＋x＋3<0的解集. 解

化－2x2＋x＋3<0为2x2－x－3>0，

3解方程2x2－x－3＝0得x1＝－1，x2＝2，

3∴不等式2x－x－3>0的解集为(－∞，－1)∪2，＋∞，

23即原不等式的解集为(－∞，－1)∪2，＋∞. 命题角度二

含参数的不等式

【例2－2】

解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R). 解

原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. 2②当a＞0时，原不等式化为x－a(x＋1)≥0，

2解得x≥a或x≤－1. 2③当a＜0时，原不等式化为x－a(x＋1)≤0. 22当a＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤a；

2当a＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；

22当a＜－1，即－2

综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；

当a＞02；

x|x≥，或x≤－1时，不等式的解集为a2当－2＜a＜0时，不等式的解集为xa≤x≤－1；

当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；

当a＜－22x|－1≤x≤时，不等式的解集为a. 规律方法

含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：

(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；

(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；

(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集. 【训练2】

(1)已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，则a＋b等于(

) A.－3

(2)不等式2x2－xB.1

C.－1

D.3 ＜4的解集为________. 解析

(1)由题意得，A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，所以A∩B＝{x|－1＜x＜2}，

由题意知，－1，2为方程x2＋ax＋b＝0的两根，

由根与系数的关系可知，a＝－1，b＝－2，则a＋b＝－3.

(2)因为4＝22且y＝2x在R上单调递增，

所以2x所以22－x＜4可化为x2－x＜2，解得－1＜x＜2，

＜4的解集是{x|－1＜x＜2}. x2－x答案

(1)A

(2){x|－1＜x＜2} 考点三

一元二次不等式的恒成立问题(多维探究) 命题角度一

在R上恒成立

3【例3－1】

若一元二次不等式2kx2＋kx－8＜0对一切实数x都成立，则k的取

值范围为(

) A.(－3，0]

B.[－3，0)

C.[－3，0]

D.(－3，0) 3解析

2kx2＋kx－8＜0对一切实数x都成立，

2k＜0，则必有解之得－3＜k＜0. 32－Δ＝k－4×2k×＜0，8答案

D 命题角度二

在给定区间上恒成立

【例3－2】

设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________.

解析

要使f(x)＜－m＋5在[1，3]上恒成立，

则mx2－mx＋m－6＜0，

123即mx－2＋4m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立.

有以下两种方法：

123法一

令g(x)＝mx－2＋4m－6，x∈[1，3].

当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，

所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.

66所以m＜7，则0＜m＜7.

当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，

所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.

所以m＜6，所以m＜0.

综上所述，m6的取值范围是m|0＜m＜7或m＜0.

123法二

因为x－x＋1＝x－2＋4＞0，

2又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜6.

x－x＋12

6666因为函数y＝2＝在[1，3]上的最小值为7，所以只需m＜7即可.

x－x＋1123x－2＋4因为m≠0，所以m的取值范围是

6m|0＜m＜或m＜0.

7答案

6m|0＜m＜或m＜0

7命题角度三

给定参数范围的恒成立问题

【例3－3】

已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为(

) A.(－∞，2)∪(3，＋∞)

C.(－∞，1)∪(3，＋∞)

B.(－∞，1)∪(2，＋∞) D.(1，3) 解析

把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，

则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，

所以f(－1)＝x2－5x＋6＞0，

2x－5x＋6＞0，2且f(1)＝x－3x＋2＞0即可，解不等式组2得x＜1或x＞3. x－3x＋2＞0，答案

C 规律方法

恒成立问题求解思路

(1)一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解.

(2)一元二次不等式在x∈[a，b]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围.

(3)一元二次不等式对于参数m∈[a，b]恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数. 【训练3】

(1)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是(

) A.[－1，4]

B.(－∞，－2]∪[5，＋∞) D.[－2，5] C.(－∞，－1]∪[4，＋∞)

(2)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则

实数m的取值范围是______. 解析

(1)由于x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.

(2)二次函数f(x)对于任意x∈[m，m＋1]，

都有f(x)＜0成立，

22f（m）＝m＋m－1＜0，则

2f（m＋1）＝（m＋1）＋m（m＋1）－1＜0，2解得－2＜m＜0. 2答案

(1)A

(2)－，0

2

[思想方法] 1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负. 2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单. 3.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形. 4.(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数. [易错防范] 1.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形. 2.当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别. 3.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.