复习参考题教学评价实录

第三章

不等式

3.4

基本不等式:

(第2课时)

教学目标

1.进一步掌握基本不等式

(a>0,b>0).

2.会用基本不等式解决简单最大(小)值问题.

3.会应用基本不等式解决一些简单的实际问题. 教学重难点

1.重点：正确应用基本不等式求最值

2.难点：正确应用基本不等式求最值

教学设计

一、设计问题,创设情境

问题1:用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短.最短的篱笆是多少? 解:设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则xy=100, 所以矩形的周长l=2x+2y≥2

=40.

当且仅当x=y时,等号成立.

又xy=100,所以当x=y=10时,lmin=40m.

答:当矩形长、宽都为10m的正方形时,所用篱笆最短.最短的篱笆是40m.

问题2:用长为4a的篱笆围成一个矩形菜园ABCD,怎样设计矩形菜园的长和宽,才能使所围成的菜园面积最大?

方法一:设矩形一边AB=x,则BC=2a-x,且x>0,2a-x>0, 所以矩形的面积为S=x(2a-x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2.

由此知当x=a时,S最大为a2.

答:将菜地围成正方形时,面积最大为a2.

方法二:由方法一得出S=x(2a-x),

-

因为

-

=a,

所以S≤a2,当且仅当x=2a-x,即x=a时,Smax=a2.

答:将菜地围成正方形时,面积最大为a2.

方法三:由方法一得出 -

S=x(2a-x)≤

=a2.

下同方法二.

方法四:设矩形的长为x,宽为y(x>0,y>0), 则2x+2y=4a,即x+y=2a.

面积S=xy≤

2=a,

当且仅当x=y,又x+y=2a,即x=y=a时,等号成立,Smax=a2.

答:将菜地围成正方形时,面积最大为a2.

二、信息交流,揭示规律

师生交流1:解答这两道题使用的是什么数学工具? 你是怎样想到的?这个式子使用时应该注意什么问题?你是直接使用的基本不等式吗? 我们前面学习了函数、数列等知识时,也用来解决过实际问题,用基本不等式解决实际问题的步骤是什么呢?

基本不等式; 因为问题中涉及两个变量,这两个变量表达的条件和结论符合基本不等式的特征; 等号成立的条件;问题2用到的是基本不等式的变形公式

和

ab≤

;设出

两个变量,用变量表示条件和目标函数,求最值,作答)

三、运用规律,解决问题

【例题】用长为4a的篱笆围成一个“日”字形菜地,一块种萝卜,另一块种茄子,如何设计才能使总面积最大? 师生交流2:“日”字形菜地的总面积的表达式是什么? 可以设几个变量?

面积=总长×宽;两个或一个.

学生探究尝试: 学生甲:设AB=x,则AD=则 - S=x·≤

- - ,0

2?

师生交流3:为什么写不下去了呢? 那是不是不能用基本不等式求最值了呢? 那怎么求最值呢? 等号右边为什么不是定值呢? 有没有办法解决这个问题呢? 不等号右边不是一个定值;是;可以用二次函数配方求解;x和-

x不能抵消;可以提取一个

,不等号右边就是定值,就能用基本不等式了.

- 解:方法一:S=x·

-

-

a2.

当且仅当x=a时,S最大为

a2.

此时AB=x,AD=

.

答:当长为a,宽为

a时菜园总面积最大.

- ,0

方法二:设AD=x,则AB=则 - S=x·

-

-

2=a2.

当且仅当x=

a时,等号成立.

此时AB=a,AD=

.

答:当长为a,宽为a时菜园总面积最大.

方法三:设AB=x,AD=y,x>0,y>0,则2x+3y=4a, 所以菜园的总面积

S=xy=(2x)(3y)≤

a2.

当且仅当2x=3y时,等号成立.

又2x+3y=4a, 所以x=a,y=

.

此时AB=x,AD=

.

答:当长为a,宽为

a时菜园总面积最大.

师生交流4:应用基本不等式求最值时,应满足什么条件? 具体情形是怎样的?不满足定值时可采取什么办法?除取定值外,还必须满足什么条件?

必须有定值.和a+b为定值时,积ab有最大值;积ab为定值时,和a+b有最小值.配凑法.取等号的条件:当且仅当a=b时,

.

四、变式训练,深化提高

变式训练1:某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少?

师生交流5:这个水池总造价的表达式是什么?水深为3m,容积为4800m3,池底面积为多少? 池壁面积怎样用数学表达式表达? 总造价=池底单价×池底面积+池壁单价×池壁面积;1600m2; 池壁面积=2×池底长×高+2×池底宽×高.

解:设底面的长为x m,宽为y m,水池的总造价为z元,根据题意,得

z=150× +120(2×3x+2×3y)

=240000+720(x+y), 由容积为4800m3,可得3xy=4800.

因此xy=1600.

由基本不等式与不等式的性质,可得

240000+720(x+y)≥240000+720×2

, 即z≥240000+720×2

, z≥297600.

当且仅当x=y=40时,等号成立.

答:将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价是297600元.

变式训练2:已知函数f(x)=x+

.

-

(1)当x<1时,f(x)的最大值为

;

(2)当x≥3时,f(x)的最小值为

. (1)-1

(2)

五、反思小结,观点提炼

1.应用题解题的基本步骤是什么? 审题—建模—解模—检验(审题最重要).

2.使用基本不等式时,应注意满足什么条件? 一正、二定、三相等,缺一不可.

3.用基本不等式求最值有几种类型? 两种类型,求最大值和求最小值.