小结特级教师教学实录

选修2-3计数原理小结

I、教学目标

通过计数原理知识梳理、解法总结，进一步理解、掌握：

1、⑴两个计数原理区别；⑵排列、组合的区别与联系；

2、二项式定理：通项公式Tk＋1＝Cna式系数及性质的灵活运用。

kn－kkb项、项的系数、二项II、教学重、难点

两个计数原理、排列、组合、二项式定义的实际应用。

III、课型：复习课

课时：2课时

IV、教学方法

V、学情分析：

学生通过本章教材学习、教辅资料《导与练》练习，已经初步掌握了处理计数原理问题的基本思想、基本方法，具备解决基本问题的能力。

：启发式; 教学方式：多媒体

VI教学过程

一、知识网络

二、基础知识

㈠ 1.分类加法计数原理

：完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类

方案中有m2种不同的方法,……在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法?

(m1+m2+…+mn)

2.分步乘法计数原理:完成一件事情需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法?

(m1×m2×…×mn)

反思：分类与分步的区别：分类要做到“不重不漏”，各种方法相互独立；分步要做到“步骤完整”，各种方法相互独立、缺一不可。

㈡ 1、排列

(1)定义：一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

(2排列数公式

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的)排

列数,用符号

表示，排列数公式

=n(n-1)…(n-m+1)(m,n∈N且m≤n).

*

阶乘:正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示,

即

=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n! 规定:0!=1.

排列数公式用阶乘形式表示为

= *(m,n∈N且m≤n).

- 2.组合

(1)定义：一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

(2)、组合数及组合数公式

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合

数,用符号

表示.

组合数公式

①

=

=

- -

-

;

=; 规定

=1.

- ②组合数的两个性质

=

.

=

+

.

-

-

反思：(1)排列与组合的区别：是否有序；(2)排列组合常见方法：优先法、捆绑法、插空法、定序法、间接法、先选后排等最重要的分类分步思想的应用。

㈢ 1、二项式定理

(1)公式(a+b)=

a+

ab+…+

ab+…+

b(n∈N)叫做二项式定理.

nnn-11n-kkn*(2)各项的系数

(k∈{0,1,2,…,n})叫做二项式系数.

(3)展开式中的

ab叫做二项展开式的通项,用Tk+1表示,即通项为展开式的第k+1项.

n-kk(4)在二项式定理中,如果设a=1,b=x,则得到公式(1+x)=

nk

2

n

+

x+

x+…+

x+…+

x.

2、二项式系数的性质

(1)对称性:在(a+b)的展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.

n(2)增减性与最大值:当k< 时,二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在

中间取得最大值.当n是偶数时,中间的一项的二项式系数

取得最大值;当n是奇数时,中间的两项

,

相等,且同时取得最大值.

(3)各二项式系数的和

n

+

+

+…+

=2.

n-1

+

+

+…=

+

+

+…=2.

-

三、典例分析

例1：

乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名参加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,求不同的出场安排共有多少种?

解: 法一优先法

以位置为主

按出场次序,第一位置队员的安排有3种方法,

第二位置队员的安排有7种方法,第三位置队员的安排有2种方法,第四位置队员的安排有6种方法,第五位置队员的安排只有1种方法.

由分步乘法计数原理,得不同的出场安排种数为3×7×2×6×1=252.

法二

优先法

以元素

为主

按主力与非主力,分两步安排.

第一步,安排3名主力队员在第一、三、五位置上,有6种方法,

第二步,安排7名非主力队员中的2名在第二、四位置上,有7×6种方法.

由分步乘法计数原理,得不同的出场安排种数为6×7×6=252.

变式探究:(1)本题若改为:3名主力队员中的甲队员只能在第三位置,其余两人在第一、五位置,再从7名非主力队员中选2名安排在第二、四位置,则不同的出场安排共有多少种?

(2)若乒乓球队中的10名队员中有4名主力队员,现在安排5名参加比赛,第一、三、五位置只能安排主力队员,第二、四位置安排非主力队员中的2名,则不同的安排方法有多少种?

解:(1)由于甲队员只能在第三位置,因此第一个位置有2种安排方法,第五个位置只有1种安排方法,第二个位置有7种安排方法,第四个位置有6种安排方法,则由分步乘法计数原理知不同的安排方法有2×1×7×6=84种.

(2)先安排第一个位置有4种方法,第三个位置有3种方法,第五个位置有2种方法,第二个位置有6种方法,第四个位置有5种方法,则由分步乘法计数原理知不同的安排方法有4×3×2×6×5=720种. 反思：⑴利用分步计数原理解决问题的关键是仔细审题找到分步的标准.

(2)按事件发生的过程合理分步,各步之间是有顺序的,连续的,各步都完成这件事情才解决.

例2： 4个男同学和3个女同学站成一排.

(1)3个女同学必须排在一起,有多少种不同的排法?

(2)任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法?

(3)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人,有多少种不同的排法?

(4)甲、乙两人相邻,但都不与丙相邻,有多少种不同的排法?

(5)男生与女生相间排列的方法有多少种?

规范解答:(1)3个女同学是特殊元素,优先安排,共有

种排法;由于3个女同学必须排在一起,我们可视排好的女同学为一整体,再与男同学排队,这时是5个元素的全排列,应有

种排法.由分步乘法计数原理,共

有

·

=720种不同的排法.2分

(2)先将男生排好,共有

种排法;再在这4个男生的中间及两头的5个空中插入3个女生,有

种方案.故

符合条件的排法共有

·

=1 440(种).4分

(3)甲、乙两人先排好,有

种排法;再从余下的5个中选3人排在甲、乙两人中间,有

种排法;这时把已

排好的5人视为一个整体,与最后剩下的2人再排,又有

种排法; 这样总共有

·

·

=720种不同的排法.6分

(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人,有

种排法;由于甲、乙要相邻,故再把甲、乙排好,有

种排法;最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空中,有

种排法;这样总共有

·

·

=960种不同的排法.8分

(5)不妨先排男生,有

种排法,在4名男生的3个间隔中共有3个位置安排3名女生,有

种,因此共有

·

种排法符合要求,故4名男生3名女生相间排列的排法共有

·

=144(种).10分

变式探究1:本题若改为:同性同学必须排在一起,则有多少种不同排法?

解:4个男同学排在一起有

种不同方法,3个女同学排在一起有

种不同方法.因此同性同学排在一起的

不同方法有

=24×6×2=288(种).

变式探究2:3名男生和3名女生站成一排,任何2名男生都不相邻,任何2名女生也不相邻,则不同的排法有(

)

(A)18种

(B)36种

(C)72种

(D)144种

解析:第1步,3名男生站成一排,有

种排法;第2步,插入女生,女生只能插入3名男生形成的前3个空或

后3个空中,有2

种插法.由分步乘法计数原理可知,共有2

·

=72(种)排法.故选C.

反思：处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体,后局部”的原则.元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列,然后再松绑,将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列,然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.

例3

已知(1-2x)=a0+a1x+a2x+…+a7x,求:

727(1)a1+a2+…+a7;

(2)a1+a3+a5+a7;

(3)a0+a2+a4+a6;

(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.

解:令x=1,

则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1.①

令x=-1,

则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=3.②

7

(1)因为a0=

=1,

所以a1+a2+a3+…+a7=-2.

(2)(①-②)÷2,

-

-

得a1+a3+a5+a7==-1 094.

(3)(①+②)÷2,

-

得a0+a2+a4+a6==1 093.

(4)因为(1-2x)的展开式中,a0,a2,a4,a6大于零,而a1,a3,a5,a7小于零,

7所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7),

结合(2)(3)得,其值为2 187.

反思：

一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x+…+anx,则采用赋值法令x=0或x=1或x=-1

2n①各项系数和a0+a1+a2+…+an=f(1).

②奇数项系数和a0+a2+a4+…=③偶数项系数和a1+a3+a5+…=

- .

- - .

例4

已知

-n(n∈N)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1.

*(1)求展开式中各项系数的和;

(2)求展开式中含

的项;

(3)求展开式中系数的绝对值最大的项.

解:因为

-

n的展开式的通项是

r

n-r

Tr+1=

(

)-

4

=(-2)

,

r

-

- 所以T5=T4+1=2

.

T3=T2+1=2

.

2

-

所以

=

,

2所以n-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去),

(1)令x=1,则得

-

8各项系数的和为1.

r

(2)展开式通项为Tr+1=(-2)

,

- 令

-

=,得r=1.

所以展开式中含

的项为

T2=T1+1=(-2)

=-16

.

1

(3)展开式的第r项,第r+1项,第r+2项的系数的绝对值分别为

2,

2,

2,

r-1rr+1

-

若第r+1项的系数的绝对值最大,则有

解得5≤r≤6,

故系数的绝对值最大的项为第六项或第七项,

即T6=-1 792

- -11

,T7=1 792x.

反思; 求展开式中系数的最值的方法:(1)若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等,可转化为确定二项式系数的最值来解决.

(2)若展开式的系数为f(r)=

·mg(r)n的形式,如求(a+bx)(a,b∈R)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第r+1项系数最大,应用

最大项.

解出r,即得系数

(3)若展开式的项数较少或转化为讨论较小项的系数的类型,可采用逐个作差(作商)比较确定.

四：拓展提升

1.新学期开始,某校接受6名师大毕业生到校学习.学校要把他们分配到高中三个年级,每个年级2人,其中甲必须在高一年级,乙和丙均不能在高三年级,则不同的安排种数为(

)

(A)18 (B)15 (C)12 (D)9

2、学校选派5名同学参加“华约”“北约”“卓越联盟”自主招生考试,每项考试至少选派1人参加,有多少种不同的选派方法?

3、已知x+

n

的展开式中的第二项和第三项的系数相等.

(1)求n的值;

(2)求展开式中所有二项式系数的和;

(3)求展开式中所有的有理项.

参考答案：

1、解析:先安排高三年级,从除甲、乙、丙外的3人中选2人,有

种选法;再安排高一年级,

有

种方法,最后安排高二年级,有

种方法.由分步乘法计数原理,不同的安排种数为

=9.故选D. 2、解析:可先分组,再分配,分两个步骤完成: 先把5个同学分成3组,有两种分法: ①一组3人,另两组1人,有

种方法; 种方法. ②一组1人,另两组各2人,有

再分配到“华约”“北约”“卓越联盟”参加考试,有

种分法. 故不同的选派方法共有.3、解析:二项式x+

Tr+1=

xn-r

+

=150(种)

n

r展开式的通项公式为

r

=

-

,(r=0,1,2,…,n).

(1)根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得

=

2,即·n=·

- ,

解得n=5.

(2)展开式中所有二项式系数的和为

5

+

+

+…+

=2=32.

(3)二项展开式的通项公式为

Tr+1=

r

-

,(r=0,1,2,…,5);

当r=0,2,4时,对应项是有理项,

所以展开式中所有的有理项为

T1=

T3=

T5=

0x=x,

552x=x,

22

4x=5-6

.

五、小结