小结教学设计第二课时

均值不等式应用---放缩

例1、.设Sn1223n(n1).求证n(n1)S2n(n1)2.2

解析: 此数列的通项为akkk(k1)k(k1),k1,2,,n.

kk11，n，

n1kkSn(k)222k1k1n(n1)n(n1)2

.222abab2即n(n1)S2n注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式k(k1)k1则得S(k1)(n1)(n3)(n1)n22k1n2，若放成，就放过“度”了！

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

22n11a1anna1ana1anaan1nn

其中，n2,3等的各式及其变式公式均可供选用。

例2、.已知函数f(x)f(1)f(2)f(n)n12n11，若bx1a21.

2f(1)45，且f(x)在[0，1]上的最小值为1，求证：2解析: f(x)4x111

11(x0)f(1)f(n)(1)2214x14x22x

(11111111

)(1)n(1)n.4222222n2n12n12例3、.已知a,b为正数，且111，试证：对每一个nN，(ab)nanbn22n2n1. ab解析: 由111得abab，又(ab)(11)2ab4，故abab4，而ababba0n1n1rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnb，

1n1rnrrn1ini，令f(n)(ab)nanbn，则f(n)=Cn倒abCnabCnabn1，因为CnCn1rn1序相加得2f(n)=Cn(an1babn1)Cn(anrbrarbnr)Cn(abn1an1b)，

而ababn1n1anrbabrrnrabn1ab2ab242n1，

n1nnn2n11rn1则2f(n)=(Cn所以CnCn)(arbnranrbr)(2n2)(arbnranrbr)(2n2)2，f(n)(2n2)2n，即对每一个nN，(ab)nanbn22n2n1. 2n3nnnn12例4、.求证CCCCn21nn12(n1,nN)

123n解析: 不等式左CnCnCnCn2n112222n1nn12222n1=n2，

原结论成立. 例5、.已知f(x)ee,求证:f(1)f(2)f(3)f(n)(exxn11)

n2

解析:f(x)f(x1x12)(e

11ex1ex21x2x1x2)(e)ex1x1x2ex1x21x1x2x2eeeeeen1n2

经过倒序相乘,就可以得到f(1)f(2)f(3)f(n)(ex1)

例6、.已知f(x)x1,求证:f(1)f(2)f(3)f(2n)2n(n1)n

解析:(k1)(2n1kk1k2n1k1

)k(2n1k)2(2n1k)22n1k2n1kkk(2n1k)

其中:k1,2,3,,2n,因为k2nk(1k)2n(k1)(2nk)0k(2n1k)2n

所以(k1)(2n1kk1)2n2

2n1k

从而[f(1)f(2)f(3)f(2n)]2(2n2)2n,所以f(1)f(2)f(3)f(2n)2n(n1)n.

例38.若k7,求证:Sn111nn1n213. nk12

解析:2Sn(1n1111111)()()()

nk1n1nk2n2nk3nk1n

因为当x0,y0时,xy2xy,112,所以(xy)(11)4,所以11xyxyxyxy4,xy当且仅当xy时取到等号.

所以2S

所以n44444n(k1)

nnk1n1nk2n2nk3nnk1nnk12(k1)2(k1)43Sn21k1k121kn所以Sn11113

nn1n2nk12例7、已知f(x)a(xx1)(xx2),求证:f(0)f(1)a216. 2

解析:f(0)f(1)a2[x(1x)][x(1x)]a. 112216例8、.已知函数f(x)=x2－(－1)k·2lnx(k∈N*).k是奇数, n∈N*时, －求证: [f’(x)]n－2n1·f’(xn)≥2n(2n－2).

解析: 由已知得f(x)2x2(x0)，

x(1)当n=1时，左式=(2x2)(2x2)0右式=0.∴不等式成立. xx(2)n2, 左式=[f(x)]n2n1f(xn)(2x2)n2n1(2xn2n)

xx11

1n22n4n2n1

2n(CnxCnxCnCn).n4n2xx

令SC1xn2C2xn4Cn21Cn11

nnnnn4n2xx

由倒序相加法得：

12SCn(xn21xn22)Cn(xn41xn4n1)Cn(1xn2xn2)

12n1

2(CnCnCn)2(2n2)，

所以S(2n2).

所以[f(x)]n2n1f(xn)2n(2n2)成立.综上，当k是奇数，nN时，命题成立

例9、. 已知函数f(x)axx(a1)

（1）求函数f(x)的最小值，并求最小值小于0时的a取值范围；

1'2'n1'

（2）令S(n)Cnf(1)Cnf(2)Cnf(n1)求证：S(n)(2n2)f'(n)

2(1)由f'(x)axlna1,f'(x)0,即：axlna1,ax同理：f'(x)0,有xlogalna,1,又a1xlogalnalna所以f'(x)在(,logalna)上递减，在（logalna,)上递增；所以f(x)minf(logalna)若f(x)min0,即1lnlnalna

1lnlna10,则lnlna1,lnalnae1ea的取值范围是1ae12n1(2)S(n)Cn(alna1)Cn(a2lna1)Cn(an1lna1)122n1n112n1(CnaCnaCna)lna(CnCnCn)112n1[Cn(aan1)Cn(a2an2)Cn(an1a)]lna(2n2)2

a(2n2)lna(2n2)n(22)(alna1)(2n2)f'(),2所以不等式成立。nn2n2