复习参考题教学设计及教案分析

平均值不等式及应用

一、教学目标

aba2b21、应用平均值不等式求最大值和最小值。

ab1122ab2aba2b22、理解、应用平均值不等式证明不等式。

ab1122ab23、平均值不等式的实际应用

二、学情分析

1.通过对问题的探究思考、参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质。鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯，

3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，从而激发学生的学习兴趣. 三、教学重点

1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解均值2

aba2b22.从不同角度探索平均值不等式的应用ab1122ab3.从平均值不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路.

四、教学难点 aba2b2ab1.平均值不等式的变式和应用1122ab2

2.通过平均值不等式的变式和应用体会不等式的证明思路.

五、教具准备 多媒体、六、教学方法

教师的主导作用和学生的主体作用相结合，

以讲带练

1 。

七、教学过程

（一）复习课引入

aba2b2（1）活动与探究：已知a、b都是正数，试探索,ab ,,的1122ab2大小关系，并证明你的结论.

（2）平均值不等式 aba2b21、设a,bR,则，其中等号成立的条件均为ab

ab1122ab23abca2b2c232、设a,b,cR,则，其中等号成立的条件abc11133abc均为abc

(二）最值原理

例题：判断下列解题过程的正误

①已知x0，求x 解：x②当x1的最值

x112x2， 原式有最小值2 xx1时，求x21的最小值

2 解：x212x212x

当且仅当x21，即x1时，原式有最小值2 4③已知x3,求x的最小值

x 解：x442x4，原式有最小值2 xx

2

当且仅当x4x时，即x2时，

原式有最小值2 三个题均是错解，强调最值原理

均值不等式abab2的最值原理

（1）积为定值→和化积→和有最小值

（2）和为定值→积化和→积有最大值

（3）环境要求：一“___”二“___”三“___”

①各项皆为正数；

②和或积为定值；

（三）求最大值和最小值

例1.

若a,b,cR，且2abc4，则ta(abc)bc的

A．最大值是４ B．最大值是２ C．最小值是－４

D．最大值是－２

．解：对ta(abc)bc进行因式分解，

有ta(abc)bca(ac)b(ac)(ab)(ac)，

∵a,b,cR，∴(ab)(ac)2(ab)(ac)，

(ab)(2∴(ab)(ac)ac)24，

当且仅当(ab)(ac)，即bc时取等号，∴ta(abc)bc的最大值是４，

故选Ａ．

例2.求函数yx(1x2)的最大值(0x1)

解：（1）∵0x1 ∴01x21 ∴y2x2(1x2)2122x2(1x2)(1x2)

12x2(1x2)2((1x2)3)3427

∴当2x21x2,x3时y24233max27 ymax9

3 ）（

例3.已知a,b,x,yR且axb1，求xy的最小值

yaxbyayxb

xy解：xy(xy)1(xy)()ab ab2当且仅当ayxbx即xyyaxbyayxb(ab)2

xya时(xy)min(ab)2

bayxb

xy解: xy(xy)1(xy)()ab ab2当且仅当ayxbx即xyyayxb(ab)2

xya时

b(xy)min(ab)2

（四）均值不等式的有关证明

例4：设a,b,cR,求证：a2b2b2c2c2a22(abc)

a2b2ab2()0 证明：∵22a2b2abab

∴

||222 ∴a2b2同理：b2c2

c2a22(ab)

22(bc)，

22(ca)

2∴三式相加：a2b2b2c2c2a22(abc)

例5：设a,b,cR,

求证：（1）(abc)()9

1a1b1c

4

（2）(abc)(1119)

abbcca2 证：（1）法一：abc33abc, 33 法二：左边1a1b1c1, 两式相乘即得。

abcabcabcabcbacacb3()()()

abcabacbc ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 （2）∵

abbcca33(ab)(bc)(ca)

22221111

33abbcca(ab)(bc)(ca)1119)

abbcca2222anana12a2+1例6： 已知a1, a2,…,an∈R，求证；a1+a2+…+an. a2a3ana1

两式相乘即得(abc)(a12证明：因为a12a1,

a22a2a32a2

a3， ，

2an1an2an1, an2an， a12an a1

222anana12a21上述不等式相加即得≥a1+a2+…+an. a2a3ana1（五）实际应用

例1.

某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为20万元和0.8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________公里处

解:

由已知y1=20；y2=0.8x(x为仓库与车站距离) x费用之和y=y1+y2=0.8x+

20≥2x0.8x20x=8 当且仅当0.8x=20即x=5时“=”成立

x答案 仓库应建在离车站5公里处.

例2.用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖

5

容器(如右图)设容器高为h米，盖子边长为a米，

(1)求a关于h的解析式；

(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值(求解本题时，不计容器厚度) 分析:命题意图 本题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值

知识依托 本题求得体积V的关系式后，应用均值定理可求得最值

错解分析 在求得a的函数关系式时易漏h＞0

技巧与方法 本题在求最值时应用均值定理

解 ①设h′是正四棱锥的斜高，由题设可得

12a4ha22

a21a2h124

消去h.解得:ah1h12(a0)

②由V1a2h33(h21)

(h＞0) 得

V113(h)h6而h112h2

hh所以V≤1，当且仅当h=1即h=1时取等号

h故当h=1米时，V有最大值，V的最大值为1立方米 6

（六）学生小结

1、平均值不等式

aba2b2ab（1）设a,bR,则，其中等号成立的条件均为ab

1122ab23abca2b2c23abc（2）设a,b,cR,则，其中等号成立的条11133abc件均为abc

2、利用平均值不等式求最值

3、求最值时注意“一正，二定，三相等”。

6

八、布置作业

1(x5)的最小值为__________；

x52.yx2(42x2)(0x2)的最大值为__________；

113.已知a0，b0，则2ab的最小值是 ab4.若x，则函数ytan2xtan3x的最大值为 42

1.yx25.若设a,bR,且ab1, 求证：ab6.设a,b,cR,求证：

九、板书设计

aba2b21、平均值不等式ab1122ab2abc3

bccaab21212

2

2、平均值不等式求最大值和最小值

3、平均值不等式的有关证明

4、课时小结

5、

7