3.2.2 复数代数形式的乘除运算名师教学设计2

复数代数形式的乘除运算教学设计

王亚娟

嵩明县第四中学

教学目标：1、知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法

与除法运算法则。

2、过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题

教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

教具准备：多媒体

教学过程：

复习提问： 1、已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）

加法法则：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 减法法则：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 即:两个复数相加(减)就是

实部与实部,虚部与虚部分别相加(减) (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i 2、复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 讲解新课：

探究1：设a，b，c，d∈R，则(a＋b)(c＋d)怎样展开？

(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd 1

思考：复数z1=a+bi，z2=c+di，其中a，b，c，d∈R，则z·z＝(a12 ＋bi)(c＋di)，按照上述运算法则将其展开，等于什么？

一 .复数的乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 二.乘法运算律：

（1）乘法交换律：z1z2=z2z1 （2）乘法结合律：z1(z2z3)=(z1z2)z3 （3）乘法对加法的分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 例1.（1）（2+i）i； （2）（1-2i）（3+i）

解：（1）（2+i）i=2i+i=-1+2i （2）（1-2i）（3+i）=3+i-6i-2i=5-5i 例2.计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 复数的乘法与多项式的乘法是类似的

例3计算：（1）(3+4i)(3-4i) ； （2）（1+i).

解：（1）(3+4i) (3-4i) =3-（4i）=9-(-16)=25; （2）（1+ i)=1+2 i+i=1+2 i-1=2 i. 2

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我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算. 思考：第（1）题中的3+4i与3-4i有什么异同点？

三.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。通常记复数z=a+bi的共轭复数为z=a-bi。

探究2:若z=a+bi的共轭复数为z=a-bi (1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系? (2)

(3)是怎样的一个数? 与，有何关系

结论：(1)在复平面内,它们所对应的点关于实轴对称

(2)

=,即乘积是一个实数

==。

(3)相等，即

探究3:类比实数的除法是乘法的逆运算,我们规定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数除法法则. 例4.计算(12i)(34i)

解：(12i)(34i)12i

34i(12i)(34i)386i4i510i12i

22(34i)(34i)342555四．复数除法运算规则：分母实数化

3

设z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）

(a+bi)÷(c+di)=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i

cdi(cdi)(cdi)c2d2(acbd)(bcad)iacbdbcad2i. c2d2cd2c2d2∴(a+bi)÷(c+di)=变式训练：计算：

解：acbdbcad2i. 222cdcd

方法总结：1、先写成分式形式

2、然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数) 3、化简成代数形式就得结果

考点突破：

考点一

复数的乘除法

计算（1）（+）（−+）

（2）

解：（1）原式=

（2）原式=考点二：共轭复数

2、已知复数z的共轭复数平面内对应的点位于（

）

=

=

=

（为虚数单位），则z在复4

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

3、已知复数，是z的共轭复数，则的模等于（

）

A．4

B．2

C．1

D．

课堂小结：

1、复数乘法运算法则是什么？其满足哪些运算律？

2、怎样的两个复数互为共轭复数？复数与其共轭复数之间有什么性质？

3、复数除法的运算法则是什么？

课后作业: 课本P61页习题3.2 A组

第4、5题

教学反思：

1、复数代数形式的乘法可按多项式类似的办法进行，不必去记忆公式。

2、复数的除法实际上就是分母实数化的过程

3、复数的除法以及共轭复数是是高考中的常考点，在今后的教学中要着重练习。

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