阅读与思考 九连环优秀公开课教案

等比数列的前n项和 教学设计

北流市第二中学

罗昭源

一、教学目标

1、让学生熟悉等比数列的前n项和公式的推导方法，错位相减法。注意在推导过程中对q的分类讨论。

2、通过例题让学生学会等比数列的前n项和公式的简单应用。

二、教学重、难点

重点：通过例题让学生学会等比数列的前n项和公式的简单应用。

难点：让学生熟悉等比数列的前n项和公式的推导方法，错位相减法。注意在推导过程中对q的分类讨论。

三、学情与教法分析

1．学情分析

从学生思维特点和认知结构看，前面学生已经深入学习过函数、等差数列及其前n项和等知识，能够把本节内容与等差数列前n项和进行类比，另一方面，本节的公式推导所要求的计算量更大，思维的深刻性更高。而且对q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后继学习使用过程中往往会出错。学生虽然具有一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维上具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。

2．教法分析

根据学生认知发展水平和心理结构特点，结合教学内容的难易程度，在教学过程中可以利用计算机多媒体和实物投影等辅助教学，采用引导启发教学法和探究-建构教学相结合的教学模式，着重于学生的发现、探索和运用，并辅以变式教学，注意适时适当讲解和演练相结合。 四、教学过程

（一）复习回顾

1、等比数列的定义。

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如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个不为0的常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比。强调相邻两项，后一项比前一项多了一个q去乘。

2、等比数列的通项公式。

ana1qn1(a1q0)

（二）问题情境

传说在古代印度，国王要奖赏国际象棋的发明者,发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请给我足够的粮食来实现上述要求”。国王觉得并不难，就欣然同意了他的要求。你认为国王有能力满足发明者的要求吗？

分析：由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是

1,2,22,23,,263,

S64=1+2+22+23+…+263

2S64= 2+22+23+24+…+264 相减得 －S64=1－264 ∴S64=264－1 6419说明：21

超过了1 .8410 ,假定千粒麦子的质量40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨。所以国王是不可能同意发明者的要求。 （三）公式推导

一般化，等比数列前n项和怎么求呢？

Sna1a2an1an?

2n2n1Saaqaqaqaq n

11111qSn= a1qa1q2a1q3 于是 (1q)Sna1a1q

na1qn1a1qn

a11qn时，Sn

当q11q

当q1时，Snna1又a1qa1qnn1

qanq,所以Sna1anq1q

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na1,(q1)Sna1(1qn)a1anq,(q1)1q1q

这种方法叫错位相减法。其思想是构造共同体，消除差别。

（四）公式理解、识记

注意：

na(1q)aanq1

当q1时，Sn

①

或Sn1

②

1q1q

当q1时，Snna1

当已知a1,q,n时用公式①；当已知a1,q,an时，用公式②. （五）例题讲解

例1求下列等比数列的前8(1),,,(2)a127,a9解题过程：

11[1()8112255.(1)因为a1,q，所以当n＝8时，S8212225612121418

1，q0

243

(2)由a127,a9a11，可得q89243a124327

1311(1)1640于是当n＝8时，S82724327.1811()3又由q＜0，可得q,

巩固练习：

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an的Sn式子

根据下列条件，只需列出等比数列（1）a13,q2,n6;Sn

1（2）a12.4,q1.5,an;Sn2

（3）数列1，2，22，23，…，2n，…中，求第5项到第10项的和。

例2 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)？

题意分析：从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知Sn=30 000求n的问题.找出等比数列中的基本量，列式，计算.

解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{an}，其中a1=5 000,q=1+10%=1.1,Sn=30 000.

5000(11.1n)30000,于是得到11.1

整理得1.1n=1.6,

两边取对数，得nlg1.1=lg1.6,

用计算器算得n0.2lg1.6≈≈5(年).0.041lg1.1

答：大约5年可以使总销售量达到30 000台.教材第66页，练习第3题.

（六）课堂小结

1.等比数列前n项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”. 2.等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有第

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两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式.

在使用等比数列求和公式时，注意q的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考. （七）布置作业

课本第69页习题2.5 A组第1、2、3题.

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