一 数学归纳法优秀教案设计

§2.3.1

数学归纳法（第一课时）

漳县第二中学

高翻红

教材分析：数学归纳法是以解决与正整数有关问题的一种推理方法,它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程,是证明与正整数有关问题的有力工具,本节课是数学归纳法第一课时,主要是让学生了解数学归纳法原理,并能够用数学归纳法解决一些简单的实际应用问题. 学情分析：学生在学习本节之前已经学习过归纳推理,以及一些简单的数学证明方法,并且已经开始使用与正整数有关的命题,但学生只是停留在认知阶段,对问题本质没有作更进一步的研究.另外高二学生经过了一年半的高中学习之后,已初步具有了发现和探究问题的能力,这为本节学习数学归纳法奠定了一定的基础. 教学目标

１.知识与技能目标：

（1）了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题; （2）进一步发展猜想归纳能力和创新能力,经历知识的构建过程,,体会归纳类比的数学思想. 2、过程与方法目标：

（1）通过对例题的探究,体会由猜想到证明的数学方法; （2）努力创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境,提高学习兴趣和课堂效率. 3、情感态度与价值观目标：

通过对数学归纳法的学习,进一步感受数学来源于生活,并形成严谨的科学

态度和勤于思考、善于观察的学习习惯.同时有助于学生价值观的提升. 教学重点:数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握. 教学难点:数学归纳法中递推思想的理解和项数的变化情况.

教法准备:讲授法,启示发现法,合作探究法. 教具准备:传统板书与多媒体辅助教学相结合. 教学过程

一、创设情境,引出课题

1、复习旧知,铺垫新知：

（1）不完全归纳法：

问题2：若an=(n2- 5n+5)2 ,则an=1对吗? 问题3:

已知:－1＋3=

2

－1＋3－5= －3

－1＋3－5＋7=

4

－1+3－5＋7－9=－5 可猜想：

－1+3－5＋

…＋（－1）n（2n－1）=（－1）n n （2）完全归纳法：

问题

1:大球中有5个小球,如何验证它们都是绿色的? 注:对于以上二例的结果是非常明显的,教学中主要用以上二题引出数学归纳法. 师:①（出示投影）不完全归纳法→结论不可靠;

完全归纳法→结论可靠.

②以上问题都是与正整数有关的问题,从上例可以看出,要想正确的解决一个与此有关的问题,就可靠性而言,应该选用第几种方法?（完全归纳法）

2、问题情境，方法引入：

23523472459122321223242；；；66656111222324252；……

61222情境一：

问:①请同学们观察以上等式.可以猜想出什么结论? （122232…+n2n(n1)(2n1)）

6②对于以上问题,你能完成证明吗? 情境二:（播放多米诺骨牌视频）

问:怎样才能让多米诺骨牌全部倒下? 二、师生合作,探究新知: 探究一:让所有的多米诺骨牌全部倒下’必须具备什么条件? 条件一:第一张骨牌倒下; 条件二:任意相邻的两张骨牌,前一张倒下一定导致后一张倒下. 注:此问题由学生合作交流完成,必要时,教师重新播发视频或给予提示. 探究二:同学们在看完多米诺骨牌视频后,是否对证明

122232…+n2n(n1)(2n1)有些启发?（证明本题对任意正整数都成6立相当于验证让骨牌全部倒下的条件）

注:通过以上合作交流,以及使骨牌全部倒下的两个条件,此时,师生共同探究得到解决引例的方法：

（1）第一块骨牌倒下相当于证明当n1时，命题成立；

（2）对于任一块骨牌倒下相邻的后一块也倒下，相当于当nk(k1,kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立。

师：（投影）证明122232…+n2（1）证明当n1时，命题成立；

（2）假设当nk(k1,kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立。

探究三:第一块骨牌不倒行不行?假如从第二块、第三块骨牌开始将骨牌推倒，结果会是怎样?（第一块骨牌必须倒,才能让所有的骨牌倒下.如果从第二块或n(n1)(2n1)的两个步骤：

6

第三块开始倒,则只能让该块骨牌后面的全部倒下.）

注:此问题说明第一块骨牌倒下对全部骨牌倒下的重要性,同时也说明在证明与正整数有关问题时,n0是使命题成立的最小正整数,n0不一定取1,也可以取其它正整数. 师:（板书）

“数学归纳法”

一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立; （2）（归纳递推）假设nk(kn0,kN*)时命题成立,证明当nk1时,命题也成立. 只要完成以上两个步骤,就可以判定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 上述方法叫做数学归纳法. 三、错例辨析，突出重点：

3.如下用数学归纳法证明对吗? 11111n

＋

2

＋

3

＋



＋

n



1

-()

222221111

证明：①当n=1时，左边＝

右边＝



等式成立

222②假设n=k时等式成立，有

11111＋2＋3＋＋k1-()k22222那么,当n=k+1时,有

11k1[1()]

11111k122kk121（）1222221

2即n=k+1时，命题成立。

根据①②可知，对n∈N＋，等式成立. 注：①找出问题,如何改正? ②1、有时

n0不一定等于1.

2、项数不一定只增加一项.

3、一定要用上假设.

③改正上述错误

四、典例分析：

n(n1)(2n1)(nN*)

61(11)(211)1，师：（板书）证明：（1）当n1时，左边121,右边6例1：用数学归纳法证明122232…+n2等式成立；

（2）假设当当nk(k1,kN*)时,等式成立,即：

122232…+k2k(k1)(2k1),那么：

6122232…+k2(k1)2k(k1)(2k1)(k1)26

(k1)(2k27k6)6(k1)(k2)(2k3)6(k1)[(k1)1][2(k1)1]6即:当nk1时,等式成立. 根据（1）和（2）,可知等式对任何nN*都成立. 注:上例让学生独立完成,师板书写现完整过程,以突出数学归纳法证题的一般步骤. 五、反馈练习,加深理解: 用数学归纳法证明:135…+(2n-1)=n2

六、归纳小结,概念提升: 问:今天我们学习了一种很重要的数学证明方法,通过本节课的学习,你有哪些收获?（学生总结，教师整理）

1、数学来源于生活,生活中有许多形如“数学归纳法”这样的方法等着我们

去发现. 2、数学归纳法中蕴含着一种很重要的数学思想:递推思想；

3、数学归纳法一般步骤：

验证nn0时命题成立

若nk(kn0,kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立

归纳奠基

归纳递推



命题对从n0开始所有的正整数n都成立

4、应用数学归纳法要注意以下几点: （1）第一步是基础,没有第一步,只有第二步就如空中楼阁,是不可靠的；

（2）第二步是证明传递性,只有第一步,没有第二步,只能是不完全归纳法；

（3）n0是使命题成立的最小正整数,n0不一定取1,也可取其它一些正整数；

（4）第二步的证明必须利用归纳假设,否则不能称作数学归纳法. 七、布置作业：

1、书面作业:Ａ组,第1题（1）（3）; 2、思考:习题2、3，A组第1题其它证明方法. 3、配套练习册及预习下一颗. 板书设计

2.3.1

数学归纳法（一）

例1：……

学生板演

§数学归纳法：

证明：……

……

(1)

导入

(2)

概念

(3)

概念的深层理解

(4)

…..

教后反思