阅读与思考 九连环课件配套优秀教案设计

阅读与思考

九连环的历史、玩法和它的数学问题教学设计

成都市第十八中学校

刘东奇

●教学目标

知识与技能：（1）了解九连环的历史、玩法

（2）理解九连环问题的解法与等比数列等数学问题间的联系

过程与方法：让学生从已有的数列知识出发,共同探究九连环问题，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般，深刻理解数列在九连环问题中的应用。

情感态度与价值观：培养学生在数学思想指导下处实际问题的能力；培养学生合情推理、探索数学规律的数学思思想能力，通过等比数列及等比数列前n项和等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点、难点：从实际问题抽象成数学模型

●教学过程

Ⅰ.课题导入

九连环是中国的一种古代智力玩具，2004年A版的《普通通课程标准实验教科书》（新课标）数学5中，已编入。这将对学生学习数学的兴趣和智力开发大有益处。

一、九连环的历史

九连环是中国人的发明，这是没有疑问的。宋代（公元960－1279）已经流行，至今已有800多年的历史。有关它的发明史，还有一些不同的说法。

1、春秋战国说

《战国策·齐策六》：“秦昭王尝遣使者遗君王后玉连环，曰：‘齐多智，而解此环否？'君王后以示群臣，群臣不知解，君王后引锥椎破之，谢秦使曰：‘谨以解矣！'”

有人以此认为早在春秋战国时就有了九连环玩具。这“玉连环”是否就是现在所说的九连环，还须证据。但那时已经有了连环一类的玩具。

2、西汉说

西汉司马相如与妻子通信，妻子回信中有：

一别之后，二地相思。

都说是三四月，谁又知五六年。

七弦琴无心弹，八行书不可传。

九连环从中折断

，十里长亭望眼欲穿。百思想，千系念。万般无奈，把郎怨。

这里明确用了“九连环”这个词。是连在一起的能玩的玩具一类的东西。时间是西汉。

3、三国说

认为是诸葛亮发明，但这并无证据，估计是由于诸葛亮是智慧的代表，特别是他能造出木牛流马这样不可思议的东西。那么不知来历的巧妙玩意儿，像孔明灯、孔明锁，都冠以诸葛的名字，也就不奇怪了。如果是这样，那九连环的流行，应在三国之后。

总之，九连环产生在古代中国，这已为世界所公认。

又在《红楼梦》第七回中，就有大观园中小姐们玩九连环的描写，……周瑞

1

家的奉薛姨妈之命，送一些宫制的堆纱假花给园子里的姑娘们，每人两朵。找黛玉时，“谁知此时黛玉不在自己房中，却在宝玉房中大家解九连环玩呢”。

Ⅱ.讲授新课

二、九连环的结构

1、环钗：由一根金属丝制成（图1）

图1环钗

2、环底：一椭圆金属盘钻有9个小孔，可穿环干。（图2 的中部）

图2环

环杆

环底

3、环与环杆：环由金属丝制成，每一环带一金属环杆（图2）

将环及环杆编号如图2，每一个环由环杆穿过下一个环，再连按到环座上。从而使九个环成叠错相连的关系。九连环的奥秘就是由它们的这种结构引起的。当把九个环都套在环柄上时成图3状。

图3 三、九连环的玩法

1、上环：将1号环提起从环钗下面向上穿过（图4）转90度套在环钗上。（图5）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

图4

2

图5

依次上2环，下1 环（将1 环提起转90度从钗架中间放下），

上3 环，上1 环，下2环，下1 环，上4环……直到把9个环都

套上。

若以“0 0 0 0 0 0 0 0 0”表示9个环都在钗架下，“1 1 1 1 1 1 1 1 1”表示9个环都在钗架下，则环上架的状态可表示为：

对应环号9 8 7 6 5 4 3 2 1 上1 环：0 0 0 0 0 0 0 0 1；

上2 环：0 0 0 0 0 0 0 1 1；

下1 环；0 0 0 0 0 0 0 1 0；

上3 环；0 0 0 0 0 0 1 1 0；

上1 环；0 0 0 0 0 0 1 1 1；

下2 环；0 0 0 0 0 0 1 0 1；

下1 环；0 0 0 0 0 0 1 0 0；这一步是关键，只有下1 环，才在下步上4环。

上4 环；0 0 0 0 0 1 1 0 0；

上1 环；0 0 0 0 0 1 1 0 1；

上2 环；0 0 0 0 0 1 1 1 1；

下1 环；0 0 0 0 0 1 1 1 0；这一步也是关键，下一步才能下3环。

下3 环；0 0 0 0 0 1 0 1 0；

上1 环；0 0 0 0 0 1 0 1 1；

下2 环；0 0 0 0 0 1 0 0 1；

下1 环；0 0 0 0 0 1 0 0 0；这一步也是关键，下一步才能上5环。

上5 环；0 0 0 0 1 1 0 0 0；接下来上6环，必先下掉4环……直到把9个环都套到钗架上。但上面的几处关键需加注意。

2、下环：下1环（将1 环取出提起转90度从钗架中间放下），下3 环，上1 环，下2 环，下1 环，下5环……直到把9个环都从环钗上取下。但有几个关键处需加注意；

若以“1 1 1 1 1 1 1 1 1”表示9个环都在钗架上，“0 0 0 0 0 0 0 0 0”表示9个环都已下架，则环下架的状态可表示为：

对应环号9 8 7 6 5 4 3 2 1 1环下：1 1 1 1 1 1 1 1 0；

3环下：1 1 1 1 1 1 0 1 0；

1环上：1 1 1 1 1 1 0 1 1；

2环下：1 1 1 1 1 1 0 0 1；

1环下：1 1 1 1 1 1 0 0 0；这是关键，只有下1环，才能解下5环。

5环下：1 1 1 1 0 1 0 0 0；

这时要解下4环，把3环套上环钗成“1 1 1 1 0 1 1 0 0”状态时才能解下4环。

这时接着5环下的状态再操作；

1环上、1 1 1 1 0 1 0 0 1；

3

2环上，1 1 1 1 0 1 0 1 1；

1环下，1 1 1 1 0 1 0 1 0；

3环上，1 1 1 1 0 1 1 1 0；

1环上，1 1 1 1 0 1 1 1 1；

2环下，1 1 1 1 0 1 1 0 1；

1环下：1 1 1 1 0 1 1 0 0；

4环下：1 1 1 1 0 0 1 0 0；这是关键这处，再接下就是要下3环必先套上2环，要下2环必先套上1 环。再往后就是要下6环必先套上5环……，直到解下9环。要解下8环必先套上7环，一直往前推，到最后解下1 环，9个环全部解下钗架成“0 0 0 0 0 0 0 0 0”状态。

四、九连环的数学问题

初见“九连环”可能会无从下手，按照我们从简单到复杂，从特殊到一般的归纳法思路，我们不妨先从“一连环”，“二连环”，“三连环”，……入手，从中找出规律，从而得出“n连环”的一般解法。

“一连环”解法简单，只需把圆环从上面的框架上取下，然后从框架中间穿过，就可把圆环从框架上解下。把这样的移动记为一次移动，则解“一连环”需要移动的次数为1次，记为

“二连环”解法也简单，只需按照上面的移动规则，先把第2环解下，然后再解下第1环即可，则解“二连环”需要移动的次数为2次，记为

“三连环”的解法为：先解下第1环，（记为：下1），再解下第3环（记为：下3），再套上第1环（记为：上1），接着解一个“二连环”，就可完成。所以解“三连环”需要移动的次数为

“四连环”的解法为：先解下前两环，（即下1，下2），再解下第4环（下4），再套上前2环（上2，上1），接着解一个“三连环”，就可完成。所以解“四连环”需要移动的次数为

f(4)f(2)1f(2)f(3)2f(2)f(3)1

由上归纳类比，可得

n连环”的解法可分为四步“

第一步：先解前n2环，需要移动f(n2)次；

第二步：解下第n环，需要移动1次；

第三步：套上前n2环，解法就相当于将解下过程倒过来，

所以需要移动f(n2)次；

第四步：解下前n1环，需要移动f(n1)次；

于是，解“n连环”需要移动的次数为：

f(n)2f(n2)f(n1)1

于是我们得到了一个数列的递推关系，即

已知数列{f(n)},其中f(1)1,f(2)2,f(n)2f(n2)f(n1)1

下面我们共同探求，如何能求出该数列的通项公式？

解：由f(n)2f(n2)f(n1)1,(n3)得

f(n)f(n1)2[f(n2)f(n1)]1,(n3)

记anf(n1)f(n),则得an2an11(n2)且a1f(2)f(1)3

由an2an11(n2),an12(an11)}为等比数列，公比为2，首项为a114

于是数列{an1n1n1n1

所以an1422,所以an21

4

即f(n1)f(n)2n11,(1)设f(n1)r2n1p(1)[f(n)r2np],则f(n1)f(n)3r2n2p,(2)对比（1）（2）两式可知3r2且2p1,于是r2,p132即f(n1)22n11(1)[f(n)22n1]3232于是有数列{f(n)22n1}为等比数列，公比为-1，

32

首项f(1)2211326

所以f(n)22n11(1)n1

326

于是f(n)1(1)n122n-1632

点评：有了这一结论，我们就可以轻松计算出解“九连环”

需要移动的次数为f(9)341次

另外在上面的研究过程中，我们两次构造数列来求数列的通项公式，这是由递推推导通项的重要方法。下面我们再来看一个例子：

（人教版普通高中课程标准实验教科书《数学5》第69页）

已知数列{an}中，a15,a22,an2an13an2(n3)，对于这个数列的通项作一研究，能否写出它的通项公式？

解：由an2an13an2(n3)得

anan3)13(an1an2)(n

设bnan1an，则上式可化为bn3bn1(n2)，且b1a2a17

所以数列{bn}为等比数列，公比为3，且首项为7，所以bn73n1。

即

an1an73n1(nN*)

（3）

设an1r3n(1)(anr3n1)，则an1an4r3n1

（4）

7对照（3）和（4）可知4r7，于是r

477即an13n(1)(an3n1)

4477713所以数列{an3n1}为等比数列，公比为-1，首项为a15。

4444713137所以an3n1(1)n1，于是an(1)n13n1。

4444点评：对于上面两个由递推推导通项的过程，你会发现它们的推导过程如出一辙。先构造一个数列把相邻三项的递推关系转化为相邻两项的递推关系，然后再构造数列把相邻两项的递推关系转化为通项公式。

5

举一反三，下面请学生自已动手，推导著名的数列斐波那契数列的通项公式; 已知数列{an}，其中a11,a21,anan1an2(n3)，求数列{an}的通项公式。

答案为：an

551n515n()()。

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