小结优秀教案说课稿

高考概率统计解答题题型分析

适用学科

适用区域

知识点

教学目标

高中数学

通用

适用年级

课时时长（分钟）

高中三年级

45 古典概型,几何概型,分布列,期望方差运算,二项分布,超几何分布，线性回归

本教案以学生比较熟悉的实际应用问题为载体，培养考查学生应用基础知识和基本方法分析问题和解决问题的能力，培养学生处理信息的能力，探索发现问题和解决问题的能力.

教学重点

概率与随机变量及其分布相结合的综合问题，与统计相结合含概率计算、概率分布表、随机变量的数学期望与方差、统计图表的识别、线性回归等知识为主的综合题．

教学难点

教学过程

从实际情境中抽象出数学模型,并用概率方法解决问题

题型一：一般类型概率与随机变量及其分布

例：私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查结果进行整理后制成下表：

年龄/岁

频数

赞成人数

[15,25) 5 4 [25,35) 10 6 [35,45) 15 9 [45,55) 10 6 [55,65) 5 3 [65,75) 5 4 (1)若从年龄在[15,25)和[25,35)这两组的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；

(2)在(1)的条件下，令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

解：(1)由表知，年龄在[15,25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25,35)内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为

12C1C1C242466224C4·64C4P＝C2·C2＋C2·×＋×＝2＝1045104575. 5105C10

(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3. 2C2615154C6P(ξ＝0)＝C2·＝×21045＝75，

5C1021C1C2C1415624344C64C4·6P(ξ＝1)＝C2·＝×＋×2＋2·2C5C1010451045＝75，

5C10112C1C2224C6C44C4P(ξ＝2)＝C2·C2＋C2·2＝75，

5105C102C14644C4P(ξ＝3)＝C2·×＝2＝104575，

5C10

∴ξ的分布列为

ξ

P 0

1575

1

3475

2

2275

3 475

15342246 ∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×75＋1×75＋2×75＋3×75＝5.

15342246∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×75757575＝5. 冲关策略：对于一般类型的离散型随机变量的均值和方差的求解，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应．

题型二：诸如利润形式的随机变量及其分布

例：某个海边旅游景点有小型游艇出租供游客出海游玩，收费标准如下：租用时间不超过2小时收费100元，超过2小时的部分按每小时100元收取(不足一小时按一小时计算)．现甲、乙两人独立来景点租用小型游艇，各租一次．设甲、乙租用不超过两小时的概率分别1111为3，2；租用2小时以上且不超过3小时的概率分别为2，3，且两人租用的时间都不超过4小时．

(1)求甲、乙两人所付费用相等的概率；

(2)设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量X，求X的分布列与数学期望．

解

(1)甲、乙所付费用可以为100元、200元、300元．

甲、乙两人所付费用都是100元的概率为

111P1＝3×2＝6. 甲、乙两人所付费用都是200元的概率为

111P2＝2×3＝6. 甲、乙两人所付费用都是300元的概率为

11111P3＝1－3－2×1－2－3＝36. 13故甲、乙两人所付费用相等的概率为P＝P1＋P2＋P3＝36. (2)随机变量X的取值可以为200,300,400,500,600. 111P(X＝200)＝2×3＝6；

111113P(X＝300)＝3×3＋2×2＝36；

1111111111P(X＝400)＝2×3＋1－2－3×3＋1－3－2×2＝36；

11111511－－1－P(X＝500)＝2×23＋2－3×3＝36；

11111P(X＝600)＝1－2－3×1－2－3＝36. 故X的分布列为

X 200

300

400

500

600 P ∴X的数学期望是

1131151E(X)＝200×6＋300×36＋400×36＋500×36＋600×36＝350.

16

1336

1136

536

136

冲关策略：概率应用问题，注意收集数据、整理数据、分析数据、应用数据，将实际问题转化为数学问题．

题型三：概率与统计的综合问题（正态分布，超几何分布，独立性检验）

例：已知500名学生的语文成绩服从正态分布N(100,17.52)，数学成绩的频率分布直方图如图：

(1)如果成绩大于135的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？

(2)如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从(1)中的这些同学中随机抽取3人，设3人中两科都特别优秀的有x人，求x的分布列和数学期望；

(3)根据以上数据，是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．

①若x～N(μ，σ2)，则P(μ－σ

a＋bc＋da＋cb＋d③

P(k2≥k0)

k0

0.50

0.40

…

0.010

0.005

0.001 0.455

0.708

…

6.635

7.879

10.828 解

(1)∵语文成绩服从正态分布N(100,17.52)，

1∴语文成绩特别优秀的概率为p1＝P(X≥135)＝(1－0.96)×2＝0.02，

3数学成绩特别优秀的概率为p2＝0.0016×20×4＝0.024，

∴语文特别优秀的同学有500×0.02＝10人，

数学特别优秀的同学有500×0.024＝12人．

(2)语文和数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，

X的所有可能取值为0,1,2,3. 3C103P(X＝0)＝C3＝14，

162C10C1276P(X＝1)＝C3＝56，

161C10C2156P(X＝2)＝C3＝56，

163C61P(X＝3)＝C3＝28，

16∴X的分布列为

x P 0

314

1

2756

2

1556

3 128

3271519E(X)＝0×14＋1×56＋2×56＋3×28＝8. (3)2×2列联表：

数学特别优秀

数学不特别优秀

合计

语文特别优秀

6

4

10

语文不特别优秀

6

484

490

合计

12 488 500 2500×6×484－4×6∴k2＝≈144.5>6.635. 10×490×12×488∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．

冲关策略

正态分布：把握好图像关于X=U对称，把握好3σ法则，注意U相当于期望，σ相当于方差。

超几何分布：弄清总产品数，次品数，取出产品数，区分开二项分布。

独立性检验：算K2即可，注意考分层抽样之类的。

题型四：概率与统计的综合问题（频率分布直方图、独立性检验、二项分布）

例：为了解当代中学生喜欢文科、理科的情况，某中学一课外活动小组在学校高一进行文、理分科时进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位：分)进行统计，将数据按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科意向”学生，低于60分的称为“理科意向”学生．

(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科意向”与性别有关？

男

女

合计

理科意向

文科意向

50

合计

110

(2)将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科意向”的人数

为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望E(ξ)和方差D(ξ)．

2nad－bc参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. a＋bc＋da＋cb＋d参考临界值：

P(K2≥k0)

k0

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001 2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828 解题视点

(1)由频率分布直方图得2×2列联表，求出K2的值，即可得到结论；(2)求出随机抽取1名学生为“文科意向”的概率，易知随机变量ξ服从二项分布，即可求出分布列、期望和方差．

解

(1)由频率分布直方图可得分数在[60,80)之间的学生人数为0.0125×20×200＝50，在[80,100]之间的学生人数为0.0075×20×200＝30，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为

理科意向

男

女

合计

2文科意向

30

50

80

合计

110 90 200 80

40

120

200×80×50－30×402又K＝≈16.498>6.635，

120×80×110×90所以有99%的把握认为是否为“文科意向”与性别有关．

(2)易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科意向”802的概率为P＝200＝5. 2依题意知ξ～B3，5，

所以23－ii2iP(ξ＝i)＝C351－5(i＝0,1,2,3)，

所以ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3

P 27125

54125

36125

8125

618所以期望E(ξ)＝np＝5，方差D(ξ)＝np(1－p)＝25. 冲关策略

正确掌握概率与统计案例的基本知识，并能对这些知识点进行有效的融合，把统计图表中的量转化为概率及分布列求解中的有用的量是解决此类问题的关键所在．

注意区分二项分布与超几何分布。二项分布中注意算成功概率，成功概率往往是古典概型。

题型五：概率与统计的综合问题（线性回归与超几何分布）

例：班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．

(1)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？(写出算式即可，不必计算出结果) (2)如果随机抽取的7名同学的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：

学生序号i 数学成绩xi

物理成绩yi

0

70

7

1

65

70

2

60

85

3

75

80

4

75

96

5

87

83 6

80 97 9①若规定85分以上(包括85分)为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；

②根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程(系数精确到0.01)，若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？

－－∑

xi－xyi－y附：线性回归方程y＝bx＋a，b＝i＝1n－∑

xi－x2i＝17n－－，a＝y－bx. 错－错∑

(xi－x)2

i＝17－－∑

(xi－x)(yi－y) i＝176

3

8812

526 解题视点

(1)据分层抽样定义及组合得出结论；(2)由超几何分布得出结果；(3)根据线性回归方程式得出结果．

7解

(1)依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为42×24＝4，

718名男同学中应抽取的人数为42×18＝3，

3故不同的样本的个数为C424C18. (2)①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3，

∴ξ的取值为0,1,2,3. 321C44C4C318∴P(ξ＝0)＝C3＝35，P(ξ＝1)＝C3＝35，

772C112C314C33P(ξ＝2)＝C3＝35，P(ξ＝3)＝C3＝35. 77∴ξ的分布列为

ξ

P 0

435

1

1835

2

1235

3 135

4181219∴E(ξ)＝0×35＋1×35＋2×35＋3×35＝7. －－526②∵b＝812≈0.65，a＝y－bx＝83－0.65×76＝33.60.

∴线性回归方程为y＝0.65x＋33.60. 当x＝96时，y＝0.65×96＋33.60＝96. ∴可预测该同学的物理成绩为96分．

冲关策略：回归方程知识，考查学生的数据处理能力和应用意识，注意分析数据，定型求解，正确计算是关键．

教学反思：概率这一章的考查，注重离散型随机变量，均值，方差的考查.统计一章用样本估计总体中，会识图，会从频率分布直方图中分析样本的数字特征（众数、中位数、平均数）；重视茎叶图；线性回归方程要引起足够的重视（在现实生活中有广泛的应用）是考查的重点，不仅会求线性回归方程，还要会分析其特点（正相关、负相关、线性回归方程过样本点中心即样本平均数）概率。