3.1.2 复数的几何意义教学设计思路

《复数的几何意义》教案

广东省海丰县彭湃中学数学组高二年级：庄惠华

教学目标：

1.知识与技能：理解复数的几何意义；根据复数的几何意义，在复平面内能描出复数的点；会运用复数的几

何意义判断复数所在的象限及求复数的模。

2.过程与方法：通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：通过复数的学习，培养学生数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：复数的几何意义以及复数的模。

教学难点：根据复数的代数形式,描出其对应的点及向量,并进行简单的计算。

学情分析：

复数的几何意义是学生在学完复数后的一节课，它在复数内容中起着承上启下的关键作用，它是我们研究复数运算的重要基础，故学好本节内容至关重要。对加深对数形结合思想认识,发展学生的数学思维具有重要作用。

然而，在之前学生已经学过实数的几何意义，实数的绝对值的意义，所以通过类比学生很容易理解复数的几何意义。

高二12班是文科普通班，基础薄弱，学习能力一般，容易混淆概念。所以，本节课，基础与能力并重，以复数的几何意义与它的模为重点。把知识点从复数延伸到几何上。

教法与学法

教法：本节主要让学生类比实数的几何意义和实数的绝对值的几何意义，探究出复数的几何意义；类比求向量的模公式探究出求复数模的公式. 学法：建议学生通过已学内容大胆探索复数的几何意义、复数的模的定义及公式. 教学过程设计

一、复习引入 上节课引入了复数，学习了复数的定义，从而把数系由实数系扩充到了复数系，请同学们回忆：

1.复数是如何定义的？把形如zabi实部，b叫虚部，i叫虚部单位。

2.复数zabi(a,bR)是实数、虚数、纯虚数所满足的条件分别是？

（1）表示实数的条件是：

（2）表示虚数的条件是：

（3）表示纯虚数的条件是：

二、新课讲解

的数叫做复数，其中a，b都是实数。a叫

思考1: 实数与数轴上的点的对应关系是什么？类比实数的表示，是否也存在一个点与之对应？若存在，这个点的形式是什么？

问：你能找出复数与有序实数对、

坐标点的对应关系吗？

①

讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，有序实数对可以与平面直角坐标系上的点一一对应，类比实数与有序实数对，复数能与什么一一对应呢？

（分析复数的代数形式，因为它是由实部a和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标）

结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。

②复平面：以x轴为实轴，y轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。

复数与复平面内的点一一对应。

实数落在实轴上，虚数落在虚轴上。原点（0,0）是实数，既在实轴又在虚轴上。所以除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

三、例题讲解

例1.

说出下列复数所对应的点的坐标，并说出点的位置

（1）z=0

（2）z=2i

（3）z=2

（4）z=4-5i

观察例1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？

思考：实轴、虚轴、各象限内的点分别表示什么样的复数？

例2.下列命题中的假命题是（

）

(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；

(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；

(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；

(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。

变式训练：

1．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯虚数”的（

）。

(A)必要不充分条件

(B)充分不必要条件

(C)充要条件

(D)不充分不必要条件

2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（

）。

(A)必要不充分条件

(B)充分不必要条件

(C)充要条件

(D)不充分不必要条件

例3.

22实数m取什么值时，复平面内表示复数zmm-2m3m+2i

的点

（1）位于虚轴上

（2）位于第三象限

变式训练

1.复数za22aa2a2i对应的点在虚轴上,则a的取值？

2.复数za22aa2a2i是纯虚数,则a的取值？

小结：表示点的位置问题即几何复数的实部与虚部所满足的等式或不等式组问题，问题转化为代数问题。数形结合思想

转化

复数的几何意义

问：平面向量OZ的坐标为

(a,b),由此你能得出复数的另一个几何意义吗？

一一对应向量0Z(a,b)复平面的点（a,b)

一一对应所以复数zabi

向量OZ(a,b)

注意：人们常将复数zabi说成点Z或向量复数的模

，规定相等的向量表示同一复数。

(1)定义：复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应的

的模叫复数z的模，记为|z|. (2)公式：|z|＝|a＋bi|＝

．

例4：在复平面内画出复数z11313i，z2-1，z3-i，对应的

2222向量0Z1,0Z2,0Z3.试判断这3个点是否在同一个圆上。

变式训练：

1.求复数Z134i

和Z2=-1-2i

的模并比较大小，满足z2zz1

的复数Z对应的点在复平面上构成怎样的图形？

四．课堂小结：

1、复数几何意义

2、复数模的几何意义

3、数学思想方法：类比、数形结合

五．作业布置

1. 已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(

) A．(－3,1)

C．(1，＋∞)

B．(－1,3) D．(－∞，－3) 2．已知复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＝|z2|，则实数a＝(

) A．1

C．1或－1

B．－1 D．±1或0 →→→→3．向量OA对应的复数为1＋4i，向量OB对应的复数为－3＋6i，则向量OA＋OB对应的复数为(

) A．－3＋2i

C．4－2i

B．－2＋10i D．－12i →→4．已知复数z对应的向量为OZ(O为坐标原点)，OZ与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为(

) A．1＋3i

C．(－1，3)

2B．2 D．－1＋3i 5. 已知复数z2m(4m)i在复平面内所对应的点位于

(1)虚轴上 (2)一、三象限 (3)以原点为圆心，以4 为半径的圆上