小结优秀完整教案

第三章《不等式》复习小结第一课时

（不含线性规划）

（教学设计）

【教材分析和学生分析】

本章为高中必修5中的最后一章，我们在这一章中重点探究了三种不等式模型，即一元二次不等式、二元一次不等式(组)及均值不等式，在了解了这三种不等式的实际背景的前提下，重点探究了不等式的应用，那么如何复习好不等式这一章的内容呢？总纲是复习不等式要结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想，以及分类讨论思想，类比思想，换元思想等．

1．充分认识不等式的地位与作用．不等式是中学数学的重要内容，是求解数学问题的主要工具，它贯穿于整个高中数学的始终，诸如集合问题、方程(组)的解的讨论、函数性质的确定、三角、数列、立体几何中的最值问题等内容，无一不与不等式有着密切联系，它所涉及内容的深度与广度是其他章节无法相比的．因此，不等式是永不衰退的高考热点，必须加强对不等式的综合复习与所学全章知识的整合．

2．加深对不等式性质的理解．不等式的基本性质在证明不等式和解不等式中有着广泛的应用，它又是高等数学的基础知识之一，因此，它是高考试题的热点，有时通过客观题直接考查不等式的某个性质，有时在解答题中的证明不等式或解不等式中，间接地考查不等式的性质，高考试题也直接或间接考查均值不等式及其他重要不等式的应用，不等式的性质更是求函数定义域、值域、求参数的取值范围等内容的重要手段．在解不等式中往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等密切联系，因此在复习中对不等式性质的条件与结论要彻底弄清．解题时由于忽略某些条件而造成的错误屡见不鲜，如a＞b，＞bc(忘了c＞0)，

a>bc>dac＞bd(忘了a、b、c、d∈R＋)等等．

3．加强等价变换在解不等式中的运用．解不等式是通过等价变形转化为简单不等式，从而得到解集．一定要注意变形是同解变形，即每一步变换必须既充分又必要．含参数的不等式或超越不等式必须进行讨论．在讨论时常要用到逻辑划分的思想进行分类，然后对划分的每一类分别进行求解，再综合得出答案．在确定划分标准时应本着“互斥、无漏、最简”的原则，有的问题还可能进行二次分类．另外一定要区分是“分类问题”的解集还是“分段问题”的解集．

4．注重在证明不等式中推理论证能力的提高．不等式的证明非常活跃，它可以和很多内容结合，是高中数学的一个难点，又是历届高考中的热点问题．证明时不仅要用到不等式的性质，还要用到不等式证明的技能、技巧，其中，均值不等式是证明不等式的主要依据．证明不等式的方法有很多，比如常用的有比较法(归0、归1)、分析法、综合法等．

1

5．解不等式是高考中的常见题型，尤其是含参数的指、对数不等式解法及绝对值不等式．一是绝对值不等式因与数、式、方程、集合、函数、数列等发生联系，在高考中频繁出现．这类题目思考性强，灵活新颖，对分析能力要求较高，解题的基本思路是等价转换，基本方法是化归化简．二是加强“三个二次结合”的深刻理解．一元二次方程、一元二次不等式及二次函数简称“三个二次”，它们互相联系，互相渗透，使这个“知识块”的内容异常丰富，是历年高考命题的重点．求解时，常用到的基本知识有二次方程的实根分布、韦达定理、二次函数图象及函数性质等．很多学生往往因为这个知识块的薄弱而阻碍了数学能力的提高．

6．不等式的应用是本章的重点．不等式的应用主要表现在三个方面：一是研究函数的性质，如求函数定义域、值域、最大值、最小值、函数单调性等；二是方程与不等式解的讨论；三是用线性规划或均值不等式解决实际问题．对于第一个方面，要求学生运算准确．第二个方面，我们知道方程和不等式在一定条件下可以互相转化，函数与不等式在一定条件下也可以相互转化．这种对立统一的观点是我们进一步提高分析问题和解决问题的基础，使我们了解研究对象在运动过程中哪些是保持不变的规律和性质，哪些是变化的规律和性质．第三个方面，可以说在数学各章节中都存在着大量的数学模型，只要我们揭示这些模型的本质规律，就一定能培养出学生的创新能力，真正做到以不变应万变．

本章复习分为两课时完成，本节是第一课时侧重三种不等式模型的复习．

【教学目标】

1．会用不等式（组）表示不等关系；

2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；

3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；

4．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。

【教学重点】

不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，基本不等式的应用。

【教学难点】

利用不等式加法法则及乘法法则解题，基本不等式的应用。

【教学过程】

直接导入：通过我们的共同努力，我们学到了有关不等式更多的知识与方法，提高了我们解决实际问题的能力，认识了数学的魅力；通过上节的课后作业——阅读本章小结，你是怎样对本章的知识方法进行整合的？由此展开新课．

提出问题：

1、

本章共学习了几种不等式模型？不等式有哪些性质？

2

2、

怎样求一元二次不等式的解集？

3、

基本不等式运用的前提是什么？主要用它来解决哪些问题？

4、

“三个二次”是指哪三个?他们之间具有怎样的联系？

提完问题后和学生一起对本章知识进行梳理。

1.本章知识结构

2.知识梳理

（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系；

不等式的主要性质：

(1)对称性：abba

(2)传递性：ab,bcac

(3)可加性：abacbc；ab,cdacbd

(4)可乘性：ab,c0acbc；ab,c0acbc

(5)同向同正可乘性：ab0,cd0acbd

(6)可乘方性：ab0ab(nN*且n1)

(7)可开方性：ab0nanb(nN*且n1)

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；作差比较法

3、应用不等式性质

（二）一元二次不等式及其解法

一元二次不等式的解法

一元二次不等式axbxc0或axbxc0a0的解集：

222设相应的一元二次方程axbxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b4ac，则不等式的解2nn的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)

0

0

0

3

二次函数

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

（a0）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R 



ax2bxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2)

x1x2b

2a

bxxx1或xx2

xx

2aax2bxc0(a0)的解集

xx1xx2

ab

2abab(当且仅当ab时取""号).

1、如果a,b是正数，那么2ab2、基本不等式ab几何意义是“半径不小于半弦”

2（三）基本不等式ab设计意图：由于本章是高中必修内容的最后一章，通过对以上内容的归纳整合，我们对不等式有了全面系统的认识，也因此对高中必修内容有了整体的理解．

3.典型例题

1、用不等式表示不等关系

例1、某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装软件，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式。

活动：本例由学生自己思考，自己作答，考察学生的文字理解能力，如何把实际问题转化为数学问题的能力，为第三小节线性规划打下坚实的基础。

解答：设购买单片软件和盒装软件分别为x片和y盒，则： x3

y3

xN,yN

60x70y500

4

点评：对学生的答案进行完善和补充，主要是x,y的取值范围容易弄错。有些实际问题只需要x，y为非负数，有些则需要x,y为正整数。

2、比较大小

例2 (1)（3＋2） ＜ ６＋26；

2（2）11 ＜ ；

5265 (3) (a+3)(a-5) ＜ (a+2)(a-4) (4)(x21)2 xx1

活动：学生共同讨论完成，总结出比较大小的常见方法。

点评：作差比较法是比较大小的常见方法，过程中会用到因式分解，完全平方公式，配方法，平方差公式等等，作差的结果是要准确的和0比较出大小。

3、利用不等式的性质求取值范围

例3 如果3x4,2y6,则

(1) xy的取值范围是

（5,10 ） , (2) x2y的取值范围是 （3,4） , 42(3) xy的取值范围是 （6,24） , (4) 1x的取值范围是

x2

2y活动：不等式的性质是不等式的基础，熟练掌握是每个学生必须完成的学习任务，可以小组合作完成。

点评：容易出现错误的是（3）和（4），同向不等式必须同正才能相乘，同向不等式相减相除必须先变成相加和相乘才能准确计算。

4、解一元二次不等式

例4 解不等式：（1）2x7x-40；（2）x8x30

活动：一元二次不等式是高中数学要求最高的不等式，熟练掌握计算是重重之重。

解答：（1）解：令2x7x-4=0

=49-32=17＞0 方程有两根x12221,x24

2-4，+

原不等式的解集是-，12

5

（2）解：不等式可化为x-8x+3＜0，

2令x2-8x+3=0，

=64-12=52＞0 方程有两根x=413

4+13

原不等式的解集是4-13，点评：学生容易出错的地方是不对二次项系数进行变号，再次总结解决一元二次不等式的几个步骤。并对其进行板书，强调书写的规范性。

例5 已知关于x的方程(k-1)x+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k的取值范围

变式：（1）其他条件不变，若没有实根，求实数k的取值范围；

（2）其他条件不变，若只有一个实根，求实数k的取值范围

活动：学生自己思考，请学生代表作答。大家一起对所说结果进行讨论总结

解答：

点评：题目当中没有说明是一元二次不等式，所以要对二次项系数进行讨论。

5、利用基本不等式求最值

例6 若x>0,y>0,且，求x+y的最小值。

2变式：条件不变，求xy的最小值；

活动：均值不等式的功能就是“和积互化”．通过此例，教师引导学生回忆如何用均值不等式求最值．本例中直接运用比较困难，充分对“1”发挥想象，把x+y乘以1，再把1换成左边的式子，展开后有两项的和恰好为定值，就可以用均值不等式了．

解答：

点评：“1”的妙用在高中数学中用的较多，比如说三角函数中同角三角函数的平方关系。但变式就不能像原题那样用，所以记住式子的结构特征很重要. [思维拓展] 求f(x)=x

变式：求f(x)=4x9(x5)的最小值. x59(x5)的最小值. x5活动：本题是求两数和的最值，要求积是定值，但积明显不是定值，所以需要引导学生对原式进行变形处理再用基本不等式. 解答：

6

点评：除了变形后用基本不等式外，本题还有另一个函数模型—“√”函数，可以联想到函数的图像。

所以基本不等式只是求最值得工具之一，学生掌握的方法越多，做题越容易上手。

4.总结提升

课堂小节

（1）由学生回顾本节课我们复习了哪些知识、方法？解决了哪些问题？通过本节复习，你有哪些收获？

（2）通过本节复习，深化了“三个二次”之间的关系，加深了不等式基本性质的理解，进一步熟悉了数形结合、方程等数学思想方法；熟悉了简单不等式的证明思路，沟通了各知识点之间的关系．从更高的角度理解了相等和不等的关系，体会了数学来源于生活的道理，也认识到了数学的系统美、严谨美与简洁美．

※

学习小结

1．用不等式表示不等关系；

2．比较大小；

3．利用不等式的性质求取值范围；

4．会解一元二次不等式；

5．利用基本不等式求最大（小）值. 5.学习评价

※

自我评价

你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※

当堂检测（时量：5分钟

满分：10分）计分：

1. 设ab0，下列不等式一定成立的是（ ）. A．a2abb2 B．b2aba2

C．a2b2ab D．abb2a2

2. a,bR，且，则2a4b的取小值是（ ）. A．4 B．2 C．16 D．8 3. 一元二次不等式axbxc0的解集是全体实数的条件是（ ）. a0a0a0a0A． B． C． D．

000023xx204.解不等式组：2 4x15x902

5.若关于x的不等式-12x2xmx的解集为x0x2,求m的值.

2点评：最后几分钟留几道练习题，再次巩固本节课所学内容。

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