1.3 二项式定理（通用）教案推荐

《二项式定理》教学设计

一、教材分析：

二项式定理是安排在高中数学排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，为随后学习的概率知识及高三选修概率与统计，作知识上的铺垫。二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘法的展开式，这一小节与不少内容都有着密切联系，特别是它在本章学习中起着承上启下的作用.

二、

教学目标：

A.知识目标：

（1）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律.

（2）能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开.

B.能力目标

：（1）通过二项式定理的推导过程，培养学生观察，猜想，归纳的

能力以及分类讨论的能力.

（2）培养学生化归的意识和知识迁移的能力.

C. 德育渗透目标 : （1）培养学生“理论源于实践，用于实践”的观点 .

（2）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，

培养学生解决数学问题的兴趣和信心.

（3）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，

使学生体会到数学内在的和谐对称美.

三、重点：二项定理的推导及运用

难点：二项式定理及通项公式的运用

四、教法和学法：

教法

为了完成本节课的教学目标，掌握并能正确运用二项式定理，让学生主动探索展开式的由来是关键。“学习任何东西的最好的途径是自己去发现”正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之深固

也”。本节课的教法贯穿启发式教学原则，采用“多媒体引导点拨”的教学方法以多媒体演示为载体，以“引导思考”为核心，设计课件展示，并引导学生沿着积极的思维方向，逐步达到即定的教学目标，发展学生的

逻辑思维能力；同时，考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节进行分层施教，实现“有差异”的发展。另外根据“最近发展区”的教学理论，精心设计问题，调控问题的解决过程，培养这节课内容最佳的“知识增长点”。

五、

教学过程：

（一）创设情境，激发兴趣

提出问题：“今天是星期六，我能很快知道再过810天的那一天是星期几，你能想出来吗？”

设计意图：根据教学内容特点和学生的认识规律，给学生提出一些能引起思考和争论性的题目，即一些内容丰富、背景值得进一步探究的诙谐有趣的题目、给学生创造一个“愤”和“悱”的情境，利用问题设下认知障碍，激发学生的求知欲望. （二）问题初探

（1）、从具体问题入手，启发学生将这个问题转化成一个数学问题：“求810被7除的余数是多少？”因为8=7+1，82=（7+1）2=72+2 7+1，83=（7+1）3=73+3 72+3 7+1,那810=（7+1）10又如何展开呢？更一般的（a+b）10、(a+b)n 如何展开？从而产生研究问题从特殊到一般的转化. 1、

先让学生自己动手运用多项式乘多项式的法则写出（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的展开式，然后提出用这种方法写出（a+b）10的展开式容易吗？（a+b）100、（a+b）n呢？对于这个问题，我们如何解决？

设计意图：复习旧知识，提问设疑，逐步推进，引起学生对学习的注意，为学生学习新课内容作知识上、方法上、心理上的准备. （三）理性探究

引导学生对写出的（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的展开式进行下列四个方面的探究：①项数；②各项次数；③字母a、b指数的变化规律；④各项系数等.在此过程中提创学生小组讨论，自由发表见解.在教学中发现，学生虽然注意到各展开式的结构特征，也很快能得出：①项数；②各项次数；③字母a、b指数的变化规律，但还缺乏丰富的联想意识，即学生的观察往往不具有见微知著的联想能力，并且对各项系数的探究出现困难.于是进一步启发学生从多项式乘以多项式的过程中去发现思路，即研究a4、a3b……这些项的形成过程中去寻找解决问题的方法，学生才领悟到a4是从（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）四个括号中，每个括号都取a然后相乘而得到，即每个括号都不取b，最后学生根据刚学过的

组合数的算法得到a4的系数C40

.利用同样的办法学生探究得到含a3b、a2b2、ab3、b4这些项的系数，12分别为C4,C43,C44所以学生不难得到（a+b）4的展开式，还可用组合数表示为：

,C40413222344(ab)4C4aC4abC4abC4ab3C4b

设计意图：学生通过对三个展开式的自主探讨，亲历了知识的发生、发展、形成的过程，从而发现问题，提出问题，并在老师的引导下解决问题，达到了“创造性地使用教材，培养学生的创新意识”教学目的. （三）归纳、猜想

学生通过对(a+b)2、（a+b）3、（a+b）4三个展开式探究，由学生归纳得出（a+b）n展开式有如下特性：

（1）共有n+1项；

（2）各项的次数都等于二项式的次数n；

（3）字母a的指数由n递减到0；同时字母b的指数由0递增到n；

（4）各项的系数依次为

到此，学生大胆合理的猜想得到（a+b）n的展开式：0n1n112n22knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnabCnb(nN)

这就是二项式定理.其中各项的系数Cnk(k0,1,2,,n)叫做二项式系数。式中的Cnkankbk叫做二项展开式的通项，用Tk1表示，即通项为展开式的第k1项：Tk1=Cnkankbk。

设计意图：学生在探究过程中通过观察、发现，类比从而是进行必要的归纳和合理的猜想得出结论，这是数学教学提创培养的，是一种创造性的思维活动，是掌握探求新知识的一种手段，也是进一步提高学生的归纳、推理、猜想能力的一种途径. （四）分析定理的结构特点 １、展开式的项数；

２、学习通项；

３、

分二项式系数与项的系数. （五）尝试应用

１、回到引例：810=（7+1）10用二项式定理展开，前10项的和是7的倍数，第11项是1.所以，当今天是星期六，再过810天后是星期天.然后把8改为6，15，13，2，3，或把10改为100，1000结果又如何呢？学生运用二项式定理很快得到答案. 设计意图：回归问题，体现了知识的实际应用价值，学生的学习热情自然达到高潮.

２、例题展示

例1：

用二项式定理展开下列各式。

（1）(ab)n =___________________________________ （2）(1)4 =_____________________________________ （3）(2x1x)6=_____________________________________ 1x（设计意图：例1是二项式定理简单顺向应用，目的在于熟悉二项式定理.变式体现知识的多样性.

例2：化简下列各式。

0123n（1）Cn=_____________________ 2Cn22Cn23Cn2nCn123n（2）Cn(x1)Cn(x1)2Cn(x1)3Cn(x1)n=____________________ 设计意图：例2是二项式定理逆向运用，主要在于训练学生对二项展开式有几项，有哪些项进一步的探讨，然后对照本例题，考察题目中项数是否完备，若不完备应如何处理，从而深化对二项式定理的理解，体现知识的严谨性. 例3：(xa)12的展开式的第4项是____________.

(xa)12的展开式的倒数第4项是____________.

设计意图：例3是用二项展开式的通项公式求给定项.变式是让学生从多方面多角度去应用二项式的通项公式，求展开式中的特定项，在教学中也可要求学生自己单独或小组合作的方式探究原题，然后增删原题中的条件或改写其结论，尽可能多演变出一些题目，并加以验证，从而培养学生的创造性思维和发散性思维能力.

例4: 求（x+3y-z）8展开式中含x2y3z3的项的系数.

设计意图：例4是引导学生用推导二项式定理的思路去探索例4的解法，意在启发学生不但要重视定理的结论，而且要重视定理的推导过程，推导思路和方法，并且把推导方法在不知不觉中应用于解题，由此进一步深化本节课的重点.

（六）归纳与提高

１、小结二项式定理的推导，体现组合思想的应用；

２二项式定理的结构及其注意问题. 设计意图：小结不只是对课堂内容的简单回顾，还应对所用数学思想、方法加以总结.

（七）作业：

总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性.重视学生的参与过程，并采用尝试讨论、学习归纳、观察猜想的方法，展开教学活动，重在培养学生的观察问题,发现问题,归纳推理问题的能力,从而形成自主探究的学习习惯.