一 数学归纳法教学设计及教案分析

数学归纳法教学设计

课标分析

数学归纳法在前一节学过的归纳推理（不完全归纳法推理）的基础上，又有必修五数列中递推数列的底子，这一部分是归纳法知识的螺旋式上升的升华与最终成果。这一节要求学生明白数学归纳法的原理，会使用数学归纳法证明一些与自然数有关的简单问题。

教材分析

这一节分两个小节，第一小节主要介绍数学归纳法的基本思想及其实施步骤，并在证明等式的过程中简单应用；下一节要在证明不等式问题（用到放缩法）、证明整除问题及几何等问题中显示其巨大的威力。

本课选取第一小节，主要为学生介绍清晰数学归纳法的思想及实施步骤，使学生明白其原理，并会简单操作，证明等式问题。其中为了帮助学生理解数学归纳法，本课借助了多米诺骨牌等学生比较熟悉的例子引入，主要为学生阐述明白递推这一难于理解的原理。应用举例主要选取学生比较熟悉的自然数的一些运算公式用数学归纳法加以证明，主要让学生熟悉操作步骤。并为下一节的深化应用做好准备和铺垫。

学情分析

学生们在前一节学过的归纳推理（不完全归纳法推理），又有必修五数列中递推数列对于递推的理解做基础，应该说有一定的理解的基础。但本节课的主要精力还是放在对数学归纳法原理（尤其是递推关系）的阐述上，使学生知其然，知其所以然。

学习目标：

1.通过学习过的归纳推理及几个例子，弄明白数学归纳法的证明原理（重点）

2.通过几个证明问题，梳理清楚数学归纳法的一般实施步骤，并会证明等式恒成立问题（难点）

目标达成：

1.通过思考1、2、3、4完成目标1的达成

2.通过思考5、6、7及例1、例2，当堂检测1、2完成目标2的达成

教学设计

新课讲授：

概念形成：

问题思考：

已知a11且an12an1(nN*)，求通项公式an.

解:∵a11

∴a22a112113

a32a212317

a42a3127115

a52a41215131

… … …

∴所求通项公式为an2n1(nN*)

以上推测正确吗？

在使用归纳法探究数学命题时，必须对任何可能的情况进行论证后，才能判别命题正确与否。

思考1：与正整数n有关的数学命题都能否通过一一验证的办法来加以证明呢？

思考2：如果一个数学命题与正整数n有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？

多米诺骨牌游戏

思考3：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么？

思考4：你认为证明数列的通项公式

an2n1是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？

数学归纳法的概念：__________________________________________________________ ____________________________________________________________________________

注意：

概念深化：

思考5：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，

请问该同学得到的结论正确吗？

解:设n＝k时成立，即2+4+6+…+2k＝k2+k+1 则当n=k+1时

2+4+6+…+2k+2(k+1)＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1 这就是说，n＝k+1时也成立

所以等式对任何n∈N*都成立

111nn(n1)n1的过程.你思考6:下面是某同学用数学归纳法证明命题1223认为他的证法正确吗?为什么? 1111

(1).当n=1时,左边=122

,

右边=112

111kk(k1)k1

(2).假设n=k时命题成立

即1223那么n=k+1时,

左边

11111(1)()()223k1k21k1k2(k1)1

=右边, 即n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.

思考7：下面是某同学

用数学归纳法证明等式11112...n1n(nN*)

2222成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？

1=右边

21111（2）假设n=k时，等式成立，即2...k1k

222211[1k1]111112那么n=k+1时2...kk121k1

12222212证明：（1）当n=1时，左边＝这就是说，当n=k+1时，等式也成立

＊根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N都成立

感悟：

应用举例

题型一、利用数学归纳法证明等式

例1、利用数学归纳法证明等式

122232n2n(n1)(2n1)6

n2(n1)2123...n4当堂检测1：用数学归纳法证明

3333

小结与反思：

谈谈你本节课的收获

作业：

n1n2nn2n1351.用数学归纳法证明：2n1

效果分析

结合学生在课上及课后的反馈情况，学生对数学归纳法的原理的理解还是不错的，数学归纳法证明的步骤也实施较好，这说明本节课对于这两部分的设计比较成功，效果明显。但是新的问题是学生们在第二步n=k+1的证明过程中有许多问题，突出表现在有些学生没有思路，不会证，不会化简；这反映他们在计算能力方面有待加强和提高。