小结教学设计

3.4.2

基本不等式（小结）

一、教学目标

知识与技能

1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题；

2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；

3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.过程与方法

1.采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；

3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.情感态度与价值观

1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；

2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；

3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.二、教学重点与难点: 重点：1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题.

2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；

3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.

难点：1.让学生探究用基本不等式解决实际问题；

2.基本不等式应用时等号成立条件的考查；

3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.

三、教学模式与教法

教学模式

：根据本节课的教学内容，应用观察、阅读、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，对基本不等式展开实际应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.

教具准备

投影仪、胶片、三角板、刻度尺

1

四、教学过程

教学环节

复习旧知识，引入新知

归纳抽象形成概念

比较分析，深化认识

1.最值练习：解答下列各题：

变化？

师

同学们回答得非常好，对变量与定师

已知些简单的应用.通过数与形的结合及证明应用，我们进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0、b＞0.在应用的过由复习引让学生明确学习任务

入，通过数学知识的内部发现问题。

教学内容

一、创设情景，

提出问题; 前一节课我们对基本不等式展开了一师生活动

设计意图

ab程中，我们对基本不等式ab2的结构特征已是充分认识，并能够灵活把握.本节课，我们将对基本不等式展开一些在求有关函数值域、最值的应用，更重要的是对基本不等式展开一些实际应用.[来源:学科网]

二、分析问题，解决问题

ab

ab，若ab为常数k，引导学生总结运用基本不等式2

的解题步骤和方法．

生1；

当且仅当a＝b时，a＋b就有最小值为2k.

生2.当且仅当a＝b时，ab就有让学生感

那么a+b的值如何变化？

师

若a＋b为常数s，那么ab的值如何1量理解的很清楚.由上面的研究可知，解最大值s（或ab有最大值2受数学概念的决有关最值问题的关键就是如何构造12s）. 出现是自然4这些“定和”或“定积”.

(此时，老师用投影仪给出本节课的第一组问题)

的．引出目标函数的概念，顺而引出约束条件、可行域、可行解、最优解、简单的线性规划问题等相关概3(１)求函数y＝2x2＋（x＞0）的最小x

值.

(２)求函数y＝x2＋

1（x＞0）的最小

4x

2

2x2＋师

我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题.根据函数最值的含义，我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值.

解：(1)∵x＞0,∴2x2＞0，引导学生共同分析解决问题，熟悉并强化理解。

留五分钟的时间让学生思考，合作交流，此处留的时间(３)求函数y＝3x2－2x3（0＜x＜最大值.

(４)求函数y＝x（1－x2）（0＜x＜1）的最大值.

值.

。

念．

23）的

2

b2(５)设a＞0，b＞0，且a＋＝1，求2

培养学生善于联想，体会知识a1b2的最大值.

三、典例分析：

3＞0.∴y＝可以更长一些，意在激发学生间的内在联系，x33333＝2x

2＋x2x2x9.

差数列及其性空间切实留给学生.老师根据学2质的理解。

生的思考情况作个别交流）

根据学生完成的典型情况，找五位学生到黑板板演，然后自主探究问题，把探究的思维从而加深对等33当且仅当2x

2＝，即x3时等号2x43成立.故当x3时，y有最小值老师根据学生到黑板板演的完4933.

22成情况再一次作点评）

（学生对等号成立的条件往往没有详细说明）

1x2x211(2) yx4433，22x4x

x214，即x＝±62时，等当且仅当2x

3

号成立. 故当x＝±62时，y有最小值331.

43,∴3－2x＞0.

2(3)∵0＜x＜∴y＝x2（3－2x）＝x·x·（3－2x）≤（xx32x3）＝1.当且仅当x＝33－2x,即x＝1时，等号成立.

(4)∵0＜x＜1,∴1－x2＞0.∴y

2＝x

2（1－x

2）2＝(11·2x

2（1－x2）（1－x2）≤

22234)＝.当且仅当2x2＝1－x

2,即327x33时，等号成立.∴当x时，334.由题意可知y＞0，故当27y

2有最大值x323时，y有最大值.

392b2(5)∵a＞0，b＞0，且a

＋＝1，∴21b22

(a2+a1b2a2222b2132

+)=,当且仅当2241b232,即a，b时a2222取“＝”.故当a32，b时，22a1+b2有最大值32.

4

4

师

若不考虑等号成立的条件，最值是否一定取到呢？

生

不一定.应当考虑等号成立的条件.

师

用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考察下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(２)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(３)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值，即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.若不满足这些条件，则不能直接运用这种方法.请同学们看下面几例的解法.若对，请说明理由；若不对，请改正.

课堂练习

１)∵y＝x＋学生分组讨论自主探究，教师1≥2，∴y的最小值为2.

巡视指导，作出评价。

x生1；

解答是错误的，原因是，当x＜0时，就不能运用公式.事实上，当x＜0时，y＜0，故最小值不可能为2.此时，函数的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞).生

2；当x＜0时，y＝x＋-(-x-

引导学生通过自主分析思考、合作交流解决问题，培养良好的学习习惯和师

这位同学回答得非常好.请你说得再详细一点，让大家都能清楚.

（此时，这位同学的学习热情很浓，探

究问题的兴趣很强）

师

很好.请坐下.感谢你为大家讲解.

1２)∵y＝3x＋4＝2x2＋x

2＋x1333232.

，∴y的最小值为4x21＝能力。

x1)≤-2.

x师

很好.

生3；

解答是错误的，其错误5

(3)∵y＝x（1－x＋x

2）≤的原因是忽视等号成立条件的研究，事实上等号成立的条件x(1xx2)21x22［］＝（），122为2x

2＝x2＝4，显然这样的x2当且仅当x＝1－x＋x，即x＝1时等x不存在，故y没有最小值.

生4；

解答是错误的，此种解号成立.∴当x＝1时，y有最大值为1.

师

很好.在求最值时，对定量与变量要理解清楚.

师

下面我们再用基本不等式来解决实际应用题.

(此时，老师用投影仪给出本节课第三组问题)

（让学生独立思考，根据学生完成的典型情况，找两位学生到黑板板演，以便起到示范功能，同时教师再一次作点评）

1.用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，1x2法的错误在于不是定值.21x2显然当x越大时，也越2大，故y无最大值.

1.解：设矩形菜园的长、宽分别为x m、y m，则xy=100，篱笆的长为2(x+y) m.由xyxy，可得x+y≥22等号当且仅当x=y时成100，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

立，此时x=y=10.因此这个矩形2.一段长为36 m的篱笆围成一个矩形的长、宽各都为１０

m时，所菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，用篱笆最短，最短的篱笆是４菜园的面积最大，最大面积是多少？

０

m.师

下面有的同学用函数也解决了这两个问题.很好，这说明同学们对所学过的知识、方法能够在不同的问题中灵活运用，解决问题的能力很强.由于时间关系，用函数解决这两个问题的方法我们就不交流了，让同学们课后去完成.

3.某工厂要建造一个

2.解：设矩形菜园的长、宽分别为x

m、y

m.则2(x+y)=36，x+y=18，矩形菜园的面积为xym2.由xyxy189，可得22xy≤81.等号当且仅当x=y=10时成立.因此这个矩形菜园的长、宽各都为９m时，菜园的面积

6

长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 最大，最大面积是８１m2.m3，深为

3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

（学生完成情况很好，要注意对答的要求）

3.分析：水池呈长方体形，池底长、宽没有确定.设池底长、宽分别为x m、y m.水池总造价为z元.[来源:学+科+网Z+X+X+K根据题意有z=150×4800+120(2×３x+2×3y)

3=240 000+720(x+y).

由容积为4 800 m3，可得xy=1 600z≥ 297 600.等号当且仅当x=y=40时成立.所以将水池的底面设计为长为４０

m的正方形时水池总造价最低，最低总造价是２９７

６００元.五、课堂小结：

师

通过本节课的学习，同学们感受到基本不等式的作用了吗？

生

基本不等式不但可以用于本函数的值域、最值，更重要的是可以解决与最值有关的实际问题.

师

数学这门学科，它是来源于生活，又作用于生活.也是一门基础科学，同学们应当感受到数学对物理、化学等其他学科的作用.作为本节课的学习任务，同学们还应当掌握解决实际应用题的一般程序，即审题，建模，研究模，再回到实际问题验证作答.

引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程.

7

课后作业

布置作业，巩固提高

1.课本第114页，习题3.4,Ａ组

第2、４题

进一步对所学知识巩固深化。

学生课后完成.

板书设计

基本不等式abab的应用（二）

2方法归纳

复习引入

课堂练习

基本不等式

例

abab

方法引导

小结

2实例剖析（知识方法应用）

示范解题

习题详解[来源:学#科#网]

(课本第114页习题3.4)

组

1.（1）设两个正数为a、b，则a＞0,b＞0，且ab=36,所以a+b≥2ab =236=12,当且仅当a=b=6时取等号.

答：当这两个正数均为６时，它们的和最小.

（２）设两个正数为a、b，依题意a＞0,b＞0，且a+b=18,所以a×b≤(它们的积最大.

答：当这两个正数均为９时，它们的积最大.

2.设矩形的长为x m，宽为y m，菜园的面积为S m2，则x+2y=30,S=xy.由基本不等式与不等式的性质，可得ab2182)=()=81,当且仅当

a=b=9时，2211x2y21900225)=××x×2y≤

(=.

222242152252当

x=2y,即x=15,y时，菜园的面积最大，最大面积是m.

22S=3.设矩形的长和宽分别为x和y，圆柱的侧面积为z.因为2(x+y)=36,即x+y=18,

z=2π×x×y≤2π×(xy2)=162π.

2当x=y，即长和宽均为９时，圆柱的侧面积最大.

8

４.设房屋地面长为x m,宽为y m，总造价为z元，则

xy=12,

y12,

xz=3y×1 200+6x×800+5 800

=123600

+4 800x+5 800

x≥23 600×12×4 800+5 800

=34 600.

当123600=4 800x，即x=3时，z有最小值，最低总造价为34 600元.

xＢ组

1.设矩形的长ＡＢ为

x，由矩形ＡＢＣＤ（ＡＢ＞ＡＤ）的周长为24，可知宽ＡＤ为12-x，设ＰＣ＝

a，x2127212x72则ＤＰ＝

x-a，所以(12-x)+(x-a)=a,可得a,ＤＰ＝

x-a=a.所以△ＡＤＰ的最大xx222面积.

112x72x218x7272S(12x)66[(x)18].由基本不等式与不等式的性质,得

2xxxS≤6（-272+18）=6×(18-122)=108-722.当x

72，即x=62

m时，菜园的面积最大，最大面积是(108-722)m2.

x2.过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ交ＡＢ的延长线于点Ｄ，设∠ＢＣＤ＝

α,∠ＡＣＤ＝β,ＣＤ=x.在△ＢＣＤ中，

tanα=bc.在△ＡＣＤ中，

xtan (α+β)=tantanac

,则

1tantanxacacac1acx(ac)(bc)x.

tanacbcx(ac)(bc)2bc12xxxx当且仅当x

9 1ac(ac)(bc)，即β=arctan时,视角最大.x2bc

备课资料

备用习题

1.已知a、b是正实数，试比较an+bn与a

n-1·b+abn-1的大小.

解：an+bn-a

n-1b-ab

n-1=an-1(a-b)+bn-1(b-a)=(a-b)(an-1-bn-1).

①当a＞b＞0时，a-b＞0,a

n-1-b

n-1＞0,得(a-b)(an-1-bn-1)＞0;

②当b＞a＞0时，a-b＜0,a n-1-bn-1＜0,得（a-b）(a

n-1-b

n-1)＞0;

③当b=a＞0时，（a-b）(an-1-bn-1)=0;

所以当a≠b时，an+bn＞a

n-1b+ab n-1;当a=b时,an+bn=a

n-1b+ab

n-1.

2.已知△ABC内接于单位圆，且(1+tanA)(1+tanB)=2，[来源:学§科§网Z§X§X§K]

（1）求证:内角C为定值；（2）求△ABC面积的最大值.

（１）证明：由(1+tanA)(1+tanB)=21+tanAtanB+tanA+tanB=2(1-1)(tanA+tanB)=0.∵(tanA+tanB)≠0,

tan(AB)∴110，即tan(A+B)=1.∴∠C=135°.

tan(AB)122ACBC2

AC×BCsinC=

AC×BC≤

().当AC=BC时，S△ABC2244（2）解析：由题意,可得S△ABC=有最大值，最大值为S△ABC=2

(AC)2.

422,CD=1-,[来22再作辅助线如图，连结OC、OA，OC交AB于D得AB⊥OC，所以AD=BD=源:Z+xx+k.Com]

10

AC 2=AD2+CD2= 2-2,所以S△ABC的最大值= 22－1

(AC)2=.

423.一批救灾物资随26辆汽车从某市以x

km/h的速度匀速开往400 km处的灾区，为安全起见，每两辆汽车（的前后间距不得小于x2)km，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？

20x2)

+400 20（解析：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知t相当于：最后一辆车行驶了25个25(km所用的时间，因此，t“=”.

x2)20400225x40010. 当且仅当25x400,即x=80时取400xxx400x答：这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间是10小时.

4.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A、B孔面积忽略不计)

分析：应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型(即函数关系式)，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值.

解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，根据题意可知yk,其中k＞0且k是比例系数.依题意要使aby最小，只需求ab的最大值.由题设得4b＋2ab＋2a＝６0（a＞0，b＞0），即a＋2b＋ab＝30（a＞0，b＞0），∵a＋2b≥22ab,∴22·ab＋ab≤30.当且仅当a＝2b时取“＝”，ab有最大值.∴当a＝2b时有22·ab＋ab＝30，即b2＋2b－1５＝0.解之，得b

1＝3，b2＝－５（舍去）.∴a＝2b＝６.故当a＝６米，b＝3米时，经沉淀后流出的水中杂质最少.

解法二：设y为流出的水中杂质的质量分数，由题意可知4b＋2ab＋2a＝６0（a＞0，b＞0），

∴a＋2b＋ab＝30（a＞0，b＞0）.∴b题只需ab取最大值. ∴y30ak（0＜a＜30).由题设y，其中k＞0且k是比例系数，依2aabkkkkkk.当且仅当64ab30aa2a3264186434[(a2)]342(a2)a2a22aa2

11

a＋2＝64时取“＝”，即a＝６，b＝3时ab有最大值18.故当a＝６米，b＝3米时经沉淀后流出的水a2中杂质最少.

点评：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为(1)先构造定值；(2)出现关系式；(3)验证“＝”成立.

5.如图，在△ABC中，∠Ｃ＝９0°，AC＝3，BＣ＝4，一条直线分△ABＣ的面积为相等的两部分，且夹在AB与BC之间的线段最短，求此线段长.

分析：本题的关键在于恰当地选取变量表示夹在AB与BC之间的线段EF，同时考虑到题设中的等量关系，1S△ABＣ，因此，所选变量还应便于求两个三角形的面积，于是考虑设BE＝x，BＦ＝y.

211解：设BＥ＝x，BＦ＝y(0＜x＜4，0＜y＜５），则S△BＥＦ＝BＥ·BＦsinB＝xysinB.

2211111又S△ABＣ＝BＣ·AＣ＝×3×4＝６,依题意可知S△BＥＦ＝S△ABＣ.∴xysinB＝×６＝3.

22222AC3BC4，,∴在△BＥＦ中，∵sinBxy＝10,又cosB由余弦定理得ＥＦ2＝BＥ2＋BＦ2－2BＥ·BBC5AB54Ｆ·cosB＝x

2＋y

2－2xy·＝x2＋y2－1６≥2xy－1６＝4，当且仅当x＝y＝10时，等号成立.故此时线段EF5即S△BＥＦ＝的长为2.

点评：本题从求线段的长度问题转化为求函数的最值问题.而求函数最值是不等式的重要应用，当解析式比较复杂时，利用三角函数的有关知识，巧妙地寻求等量关系，合理变形，是我们常用的一惯手法.从而使我们注意到：数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学思想方法.

12