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1 均值不等式教学目标：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理. 利用均值定理求极值. 了解均值不等式在证明不等式中的简单应用教学重点：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理利用均值定理求极值教学过程一、复

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学校：怀化市第五中学

复习参考题课件配套优秀教案案例

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复习参考题课件配套优秀教案案例

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关键词：复习参考题课件配套优秀教案案例

正文

1 均值不等式

教学目标：

推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理. 利用均值定理求极值. 了解均值不等式在证明不等式中的简单应用

教学重点：

推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理

利用均值定理求极值

教学过程

一、复习：

1、复习不等式的性质定理及其推论

1：a>bbb,b>ca>c(或cba+c>b+c(或a

(1)：a+b>ca>c-b(移项法则) (2)：a>b,c>da+c>b+d 4、若a>b,且c>0，那么ac>bc；若a>b,且c<0，那么acb>0,且c>d>0，则ac>bd (2)、若a>b>0,则an>bn (n∈N,且n>1) (3)、若a>b>0,则nanb

(n∈N,且n>1) 2、定理变式：

如果a,b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，等号成立）

3、均值定理：如果a,b是正数，那么abab(当且仅当ab时取""号).

2证明：∵(a)2(b)22ab,

ab2ab，即abab2abab显然，当且仅当ab时,2ab为a,b的算术平均数，称ab为a,b的几何平均数，因而，此定说明：ⅰ）我们称2理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

ⅱ）a2b22ab和ab2ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数

ⅲ）“当且仅当”的含义是等价

3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”

以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b过点C作垂直于直径2AB的弦DD′,那么CDCACB，即CDab

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2 这个圆的半径为ababab，其中当且仅当点C与圆，显然，它不小于CD，即22心重合；即a=b时，等号成立

应用例题：

例1、已知a、b、c∈R，求证：

不等式的左边是根式，而右边是整式，应设法通过适当的放缩变换将左边各根式的被开方式转化为完全平方式，再利用不等式的性质证得原命题。

a2b2c2abc

例2、若a,b,cR，则bca本题若用"求差法"证明，计算量较大，难以获得成功，注意到a , b , c∈R，从结论的特点出发，均值不等式，问题是不难获证的。

＋

222例3、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：abcabbcca

222222证明：∵ab2ab

bc2bc

ca2ca

以上三式相加：2(abc)2ab2bc2ca

222∴abcabbcca

222归纳小结

定理：如果a,b是正数，那么abab(当且仅当ab时取""号).

22、利用均值定理求最值应注意：“正”，“定”，“等”，灵活的配凑是解题的关键。

巩固练习

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