小结第一课时教学设计

课题: 《不等式》复习小结

【教学目标】

1．会用不等式（组）表示不等关系；

2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；

3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；

4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；

5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。

【教学重点】

不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。

【教学难点】

利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。

【教学过程】

1.本章知识结构

2.知识梳理

（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系；

不等式的主要性质：

(1)对称性：abba

(2)传递性：ab,bcac

(3)加法法则：abacbc；ab,cdacbd

(4)乘法法则：ab,c0acbc；ab,c0acbc

ab0,cd0acbd

(5)倒数法则：ab,ab0n11

abn(6)乘方法则：ab0ab(nN*且n1)

(7)开方法则：ab0nanb(nN*且n1)

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；

作差法

3、应用不等式性质证明

（二）一元二次不等式及其解法

一元二次不等式的解法

一元二次不等式axbxc0或axbxc0a0的解集：

22

设相应的一元二次方程ax2bxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b4ac，2则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)

二次函数

0

0

0

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

（a0）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

axbxc02a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2)

bx1x2

2a

xxx或xx

12bxx

2a 

R 

xx1xx2

（三）线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）

3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解

ab

2abab(当且仅当ab时取""号).

1、如果a,b是正数，那么2ab2、基本不等式ab几何意义是“半径不小于半弦”

2（四）基本不等式ab3.典型例题

1、用不等式表示不等关系

例1、某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装软件，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式。

例2、咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为9g、4g、3g；乙种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为4g、5g、5g.已知买天使用原料为奶粉3600g,咖啡2000g,糖3000g。写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式。

1、

比较大小

例3 (1)（3＋2） ６＋26；

2（2）（3－2） （6－1）；

22（3）11 ；

526522(4)当a＞b＞0时，log1a log1b

(5) (a+3)(a-5) (a+2)(a-4) (6)(x21)2 xx1

2、

利用不等式的性质求取值范围

例4 如果30x42,16y24,则

(1) xy的取值范围是 , (2) x2y的取值范围是 , 42

(3) xy的取值范围是 , (4)

x的取值范围是 y例5已知函数f(x)ax2c,满足4f(1)1,1f(2)5,那么f(3)

的取值范围是 .

[思维拓展]已知1ab5，1ab3，求3a2b的取值范围。（[-2，0]）

3、

解一元二次不等式

例6 解不等式：（1）2x7x40；（2）x8x30

2例7已知关于x的方程(k-1)x+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k的取值范围

4、

二元一次方程（组）与平面区域

22xy60xy0例8 画出不等式组表示的平面区域。

y3x5

5、

求线性目标函数在线性约束条件下的最优解

x2y2例9已知x、y满足不等式2xy1,求z=3x+y的最小值。

x0,y0

2xy300x2y250[思维拓展] 已知x、y满足不等式组，试求z=300x+900y的最大值时的整x0y0点的坐标，及相应的z的最大值

6、

利用基本不等式证明不等式

例8 求证(ab)(cd)(acbd)

7、

利用基本不等式求最值

例9若x>0,y>0,且

[思维拓展] 求f(x)4x

22222281,求xy的最小值

xy9(x>5)的最小值. x5