小结第一课时评课稿

选修2-3 第一章

章末小结教学设计

学校：永登县第二中学

教师：王丽蓉

课时：1课时

一、学习目标：

1.

理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能结合具体问题的特征，合理选择两个计数原理来分析和解决一些简单的实际问题。

2.

理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数和组合数公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决实际问题。

3.

能利用计数原理证明二项式定理，掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能应用它们解决与二项展开式有关的计算和证明问题。

二、教学重点：排列、组合的运用，二项式定理和二项展开式的性质。

三、教学难点：利用计数原理推导排列数和组合数公式、利用计数原理证明二项式定理，并能用它们解决实际问题。

四、教学过程：

（一）知识梳理

1．分类加法计数原理

完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．

3．排列数与组合数公式及性质

排列与排列数

排列数公式Amn＝n(n－公式

1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！

n－m！组合与组合数

组合数公式mmAnCn＝Am＝mnn－1n－2…n－m＋1＝m！n！

m！n－m！

性质

备注

当m＝n时，Amn为全排列；An；0！＝1

n＝n！0nn－mmm－1Cn＝Cn＝1；Cmn＝Cn；Cn＋Cn＝Cmn＋1

n，m∈N*，且m≤n

4.二项式定理

(1)二项式定理的内容：

n1n－11n－kkn*(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnna＋Cnananb (n∈N)．

n－kk(2)通项公式：Tk＋1＝Ckb，k∈{0,1,2，…，n}．

na(3)二项式系数的性质：

①与首末两端等距离的两个二项式系数相等；

n②若n为偶数，中间一项第2＋1项的二项式系数最大；若n为奇数，中间两n＋1n＋1的二项式系数相等且最大．

项第项和第＋1项22012n213n－1③Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2n；C0. n＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋…＝2（二）典例分析

例1

车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？

解

设A，B代表2位老师傅．

4A，B都不在内的选派方法有C45C4＝5(种)，

24A，B都在内且当钳工的选派方法有C22C5C4＝10(种)，

42A，B都在内且当车工的选派方法有C22C5C4＝30(种)，

33A，B都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有A22C5C4＝80(种)，

34A，B有一人在内且当钳工的选派方法有C12C5C4＝20(种)，

43A，B有一人在内且当车工的选派方法有C12C5C4＝40(种)，

4224242233134143所以共有C45C4＋C2C5C4＋C2C5C4＋A2C5C4＋C2C5C4＋C2C5C4＝185(种)．

总结：解含有约束条件的排列、组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)．

例2 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．

(1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？

(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？

(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？

解

(1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节4目一起排，有A77＝5 040(种)方法；第二步再松绑，给4个节目排序，有A4＝24(种)方法．

根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序．

(2)第一步将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有A66＝720(种)方法．

×□×□×□×□×□×□×

第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即□中“×”的位置)这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A47＝840(种)方法．

根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝ 604 800(种)安排顺序．

(3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A1212种排法，但原来的节目已A1212定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有10＝A212＝132(种)排列．

A10总结：排列与组合的综合问题，首先要分清何时为排列，何时为组合．对含有特殊元素的排列、组合问题，一般先进行组合，再进行排列．对特殊元素的位置有要求时，在组合选取时，就要进行分类讨论，分类的原则是不重、不漏．在用间接法计数时，要注意考虑全面，排除干净．

2x－n例3已知3的展开式中，第5项的系数与第3项的系数比是56∶3. x(1)求展开式中的所有有理项；

(2)求展开式中系数绝对值最大的项；

3n－1n(3)求n＋9C2Cn的值．

n＋81Cn＋…＋9422解(1)由C4n(－2)∶Cn(－2)＝56∶3，解得n＝10，

25k5k10－k－kkk因为通项：Tk＋1＝C10(x)3＝(－2)C10x6，

x

当5－5k为整数时，k可取0,6，

6展开式是常数项，于是有理项为T1＝x5和T7＝13 440. (2)设第k＋1项系数的绝对值最大，则

kkk－1k－1C102≥C102，kkk＋1k＋1C102≥C102，

22k≤3，解得19k≥3，

1031010

又因为k∈{1,2,3，…，9}，所以k＝7，当k＝7时，

T8＝－15 360x，

又因为当k＝0时，T1＝x5，

当k＝10时，T11＝(－2)x1056103＝1024x，

56所以系数的绝对值最大的项为T8＝－15 360x.. (3)原式＝10＋9C＋81C＋…＋921031010－1223310109C110＋9C10＋9C10＋…＋9C10C＝

9122331010C010＋9C10＋9C10＋9C10＋…＋9C10－1＝＝91＋9910－11010－1＝. 9总结：

(1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素．

(2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项．

(3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数．

(4)求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入．

(5)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质．

例4 若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10. (1)求a2；

(2)求a1＋a2＋…＋a10；

(3)求(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2. 解

(1)(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，

a2是展开式中x2的系数，

53344443355∴a2＝C55(－1)C5(－2)＋C5(－1)C5(－2)＋C5(－1)·C5(－2)＝800. (2)令x＝1，代入已知式可得，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，

而令x＝0，得a0＝32，∴a1＋a2＋…＋a10＝－32. (3)令x＝－1可得，

(a0＋a2＋a4＋…＋a10)－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝65，

再由(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＋(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝0，

把这两个等式相乘可得，

(a0＋a2＋a4＋…＋a10)－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝6×0＝0. 总结：与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果。

225五、随堂练习：

1．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有(

) A．24种

B．36种

C．48种

D．60种

ax＋n展开式的二项式系数之和为32，常数项为2．已知关于x的二项式3x80，则a的值为(

) A．1

B．±1

C．2

D．±2 3．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(

) A．192种

B．216种

C．240种

D．288种

4．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________. 5．航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前

面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________．(用数字作答) 六、课堂小结：

1．排列与组合

(1)排列与组合的区别在于排列是有序的，而组合是无序的．

(2)排列问题通常分为无限制条件和有限制条件，对于有限制条件的排列问题，通常从以下两种途径考虑：

①元素分析法：先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素．

②位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置．

(3)排列与组合综合应用是本章内容的重点与难点，一般方法是先分组，后分配．

2．二项式定理

(1)与二项式定理有关，包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、近似计算、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式．

(2)与通项公式有关，主要是求特定项，比如常数项、有理项、x的某次幂等，n－kk此时要特别注意二项展开式中第k＋1项的通项公式是Tk＋1＝Ckb(k＝0,1，…，nak＋1n)，其中二项式系数是Ckn，而不是Cn，这是一个极易错点．

(3)与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和等主要方法是赋值法．

七、作业布置：

课本40页

复习参考题A组