二 一般形式的柯西不等式第一课时教学设计

兰州市第十八学

选修4-5不等式选讲

3.2一般形式的柯西不等式

【教学目标】

1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；

2.通过柯西不等式与其它基本不等式的关系，感悟柯西不等式的美; 3.在运用柯西不等式分析、解决问题的过程中，体会柯西不等式的应用方法.

【教学重点】

柯西不等式的一般形式、变形以及它与一些基本不等式的关系，柯西不等式的使用方法．

【教学难点】在具体问题中怎样使用柯西不等式．

【教学过程】

一、创设问题情境，检查课后学习情况：

问题1：你知道二维形式的柯西不等式吗？有几种形式？

定理1：（二维柯西不等式）设a,b,c,d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，

等号当且仅当adbc时成立．

定理2：（向量形式）设，为平面上的两个向量，则≥，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立．

定理3：（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则：

(x1x2)2(y1y2)2(x2x3)2(y2y3)2(x1x3)2(y1y3)2 问题2：你会用柯西不等式证明下面的两个不等式吗？

22

（１）ab≥2ab

（２）ab≥221(ab)2 2 解析： (1)∵(a2b2)(a2b2)≥(abab)2(2ab)2,∴(a2b2)2≥(2ab)2

∴ab≥2ab≥2ab, ∴ab≥2ab 222222 (2) ∵(ab)(11)≥(a1b1)(ab),∴ab≥2222221(ab)2 2问题3:已知a,bR,且ab1 ,你能求出解析：11的最小值吗？

ab1111112ab1, ∴(ab)()≥(ab)4

ababab111时，取得最小值4. 2ab

即ab

二、类比猜想，进行新课

问题4:类比二维空间的柯西不等式，你能提出三维柯西不等式吗？会证明吗？

猜想：设xi,xiR(i1,2,3)，则(x1x2x3)(y1y2y3)≥(x1y1x2y2x3y3)

解疑：令(x1,x2,x3),(y1,y2,y3),由于空间向量中≥也成立 .所以

2222222曹明宽

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3.2一般形式的柯西不等式

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选修4-5不等式选讲

(x12x22x32)(y12y22y32)≥x1y1x2y2x3y3, ∴(x12x22x32)(y12y22y32)≥(x1y1x2y2x3y3)2, 其中等号当且仅当,共线时等号成立；即0,或存在一个实数k,使得

aikbi(i1,2,3)时，等号成立. 问题5：你会用柯西不等式证明下面的不等式吗？等号成立的条件呢？

（1）ab1≥ab(a,bR) （2）

a2b2c2≥(abc)2

23222 (3) abc≥abbcca

解析： (1)a0,b0,(ab)(ab)(abab)2(2ab)2,

ab≥ab. 2 ∴(ab)2≥(2ab)2, ∴ab≥2ab ,即 (2) (a2b2c2)(121212)(a1b1c1)2(abc)2, 1a2b2c2(abc)2 3 (3) (a2b2c2)(b2c2a2)(abbcca)2

22222222 ∴(abc)(abbcca),∴abcabbccaabbcca

问题6:已知a,b,cR,且abc1 ,你能求出解析：111的最小值吗？

abcabc1,

111111111∴(abc)()≥(abc)29

abcabcabc

即abc1111时，取得最小值9. 3abc问题7:类比二维、三维空间的柯西不等式，猜一猜n维空间的柯西不等式，即一般式．

定理4：（一般形式的柯西不等式）：

设n为大于1的自然数，xi,yiR(i1,2,3,,n),则：

(x12x22xn2)(y12y22yn2)(x1y1x2y2,ynkxn时成立. 2xnyn)2,其中等号当且仅当

存在实数k,使得y1kx1,y2kx2,2证明：构造二次函数：f(x)(x1xy1)(x2xy2)(xnxyn)2,则

曹明宽

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3.2一般形式的柯西不等式

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f(x)21(x22xn2x)2x21(1xy2xyn2n2)xy(1x22y是二次

)yny函数,因为对任意的实数xi,yi(i1,2,3, ∴△4(,n),都有f(x)≥0成立，∴△≤0 xy)iii1n24(xi)(yi2)0，

2i1i1nn∴(x12x22xn2)(y12y22yn2)(x1y1x2y2xnyn)2

其中等号当且仅当存在实数k,使得y1kx1,y2kx2,即当且仅当y1y2x1x2,ynkxn时成立. yn时成立（当x0时，约定y0，i1，2，…，n）. iixn如果xi（1in）全为0，结论显然成立. 三、应用举例，深化理解：

例1：已知a1,a2anR,求证：a12a22an2)(1212an2)n(a1a21an2≥(a1a2n1an2≥(a1a2nan)2

证明：∵(a12a22 ∴(a12a22 ∴a12a2212)(a11a21an)2

an)2

2222an1)2, 例2：已知a,b,c,d是不全相等的实数，证明：abcd≥abbccdda. 证明：(a2b2c2d2)(b2c2d2a2)(abbccdda)2

∴(a2b2c2d2)2(abbccdda)2

∴abcdabbccdda≥abbccdda

例3：已知x2y3z1,求x2y2z2的最小值. 解：∵x2y3z1,∴(x2y2z2)(122232)≥(x2y3z)21

∴xyz≥四、课堂练习：

1．已知x,y,zR，且xyz1，求222222211231,y,z,即当x时取得最小值. 1414141414149的最小值. xyz22222．已知abcd1，求abcd的最小值. 五、课堂小结：重点掌握柯西不等式的运用,关键在于构造柯西不等的形式. 六、布置作业：P41习题3.2 2，3，4，5

曹明宽

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3.2一般形式的柯西不等式