信息技术应用 用Excel解线性规划问题举例教案2

3.3.2 简单线性规划问题

卢龙县中学 运文培

教学目标：

一、知识与技能

1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;

2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.二、过程与方法

1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力;

2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新. 三、情感态度与价值观

1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力;

2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新. 教学重点：

重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.

教学难点：

难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化.教学过程

导入新课

师

前面我们学习了二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下.（生回答）

推进新课

［探究1］

师

在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.

例如，某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

设甲、乙两种产品分别生产x、y件，应如何列式？x2y8,4x16,生

由已知条件可得二元一次不等式组：4y12,

x0,y0.师

如何将上述不等式组表示成平面上的区域？生

（板演）

师

对照课本98页图3.39，图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P（x,y）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x、y才有意义. 进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？

设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得利润为z，则如何表示它们的关系？

生

则z=2x+3y.

师

这样，上述问题就转化为：当x、y满足上述不等式组并且为非负整数时，z的最大值是多少？［教师精讲］

2121师

把z=2x+3y变形为yxz,这是斜率为，在y轴上的截距为z的3333

直线.当z变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.生

当z变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）

师

由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就21能确定一条直线yxz，这说明，截距z3可以由平面内的一个点的坐标3321唯一确定.可以看到直线yxz与表示不等式组的区域的交点坐标满足不33z等式组，而且当截距最大时，z取最大值，因此，问题转化为当直线321yxz与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P，使33z直线经过P时截距最大.

321由图可以看出，当直线yxz经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，33z142）时，截距最大，最大值为.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，33乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元.［合作探究］

师

诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件. z=2x+3y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=2x+3y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.

另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. 例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+3y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.

那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的阴影区域.其中可行解

（4，2）使目标函数取得最大值（最小值），它们叫做这个问题的最优解.［探究2］

x2y8,4x16,4y12,下

在线性约束条件 x0,

y0.

求（1）目标函数

z2xy的最大值；

（2）目标函数

zxy 的最大值；

（3）目标函数zx2y 的最大值和最小值

课堂小结

用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）；

（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线； （3）求：通过解方程组求出最优解；

（4）答：作出答案。

xy0练习：设x,y满足线性约束条件xy10

y1（1）求z=2x+y最大值与最小值

（2）求z=-x-y最大值与最小值

板书设计

简单线性规划问题

图1 课堂小结 线性规划问题的相关概念

图2