阅读与思考 九连环优秀公开课教案

2018年高考数学（理）一轮复习讲义：递推数列求通项的基本方法（理）

考点

考纲要求

题型

分值

考题规律

高考必考

1. 直接在填空题中考查一些特殊递推关系的数列的通项；

2. 解答题中与等差数列、等比数列、数列的求和以及其他知识等一起综合考查，中档题。

递推数列的通项求法

理解数列的通项的概念，理解数列的递推关系，会求一些特殊数列的通项。

填空

解答

5分

数列通项既是高考必考考点，也是高考的重点和热点，预计未来几年高考中，仍会考查数列的通项，既有填空题，也有解答题，可以直接考查特殊数列的通项求法；也可以与等差数列、等比数列、数列的求和以及其他知识等一起综合考查，既考查相关基础知识和基本方法，也考查推理论证能力以及综合处理能力，中档题。

【解题关键】掌握定义、公式及基本方法！

◆

递推数列求通项的基本方法

1. 已知递推公式求通项公式，可以“先猜后证”“化归法”等。

a1a2. 对于型，求an，可用迭加法：

aaf(n)n1nana1(anan1)(an1an2)(a2a1)。

a2a1。

a1anan1a1aa3. 对于型，求an，可用累积法：nan1an2anf(n)an1a1a(q1,b0)型，求an，其关键是确定待定系数，使

4. 对于aqabnn1ban1q(an)。

q1例题1

（全国高考）数列{an}满足a11,a22, an22an1an2。

（1）设bnan1an，证明{bn}是等差数列；

（2）求{an}的通项公式。

思路分析：（1）利用等差数列的定义证明；(2)利用等差数列的通项公式，写出数列{bn}的通项，进而利用迭加法求{an}的通项公式。

答案：（1）由an22an1an2得an2an1an1an2，

即bn1bn2，又b1a2a11，

所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列。

（2）由(1)得bn12(n1)2n1，即an1an2n1。于是

nn(ak1k1ak)(2k1)，

k1第1页

即an1a1n2，即an1n2a1，又a11，所以{an}的通项公式为

an(n1)2a1n22n2。

技巧点拨：数列{an}若满足：an1anf(n)，一般用迭加法求通项。

511n1，an1an()，求an。

632n1思路分析：两边同乘以2，可转化为形如an1panq类型，可构造得到一个等比例题2

已知数列an中，a1数列，进而求解。

112an()n1两边乘以2n1得：2n1an1(2nan)1

32322令bn2nan，则bn1bn1，两边同时减去3，得：bn13(bn3)，

33442b32因为b132a130，所以n1，bn3()n1，

333bn332n所以bn32()，

3b1n1n3()2()。

所以annn223答案：在an1技巧点拨：对于复杂类型的数列通项求解，往往通过类型转化为熟悉类型的数列通项求解，进而转化为等差或等比数列的通项问题。

【综合拓展】

通过递推关系求出数列的通项公式，是解决数列问题时经常遇到的，这类问题的处理方法是向特殊数列转化，利用特殊数列的性质，求数列的通项公式，下面提供几类有规律的变形：

1. 应用迭乘法，求数列的通项

无论是an1anf(n)型，还是an1只要是知道相邻两项之间的关系的，f(n)型的，an均可利用迭代法。

2. 构造等差、等比数列求通项

（1）an1panq（p, q为常数且p1）型

（i）可化为an1而求出an；

（ii）可由an1panq得anpan1q两式相减可得：an1anp(anan1)，利用{an1an}成等比数列求出an1an，再利用迭代或迭加求出an；

（iii）利用迭代法可得：anpn1qqqp(an)，利用等比数列求出an的表达式，进p1p1p1a1pn2qpn3qp2qpqq求和得an。

n（2）an1panq（p、q为常数且q0）型：

第2页

an1pan1an，转化为型，求出后解出an。

apaqn1nn1nnqqqqq（3）an2pan1qan型：

可化为可变形为an2an1(an1an)就是an2()an1an，则可从p，q，解得、，于是{an1an}是公比为的等比数列，进而转化为an1panq型求解。

man（4）an1型：

panq1m1m可采用取倒数方法转化成为形式，即转化为an1panq求解。

an1qanp12an(a0)，求数列an的通项公式。

a1思路分析：采用两边取对数方法，即lgan12lganlg，转化后用待定系数法求解。

a121答案：由an1an两边取对数得lgan12lganlg，

aa示例：已知数列｛an｝中，a11,an11令bnlgan，则bn12bnlg，再利用待定系数法解得：ana（答题时间：30分钟）

一、选择题

12n1a()。

a12a,(0a),nn21. 若数列{an}满足an1

12a1,(a1)nn26若a1＝，则a20的值为（

）

765A.

B.

773C.

71D.

7

2. 若数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4等于（

）

A. 7

B. 8

C. 9

D. 17 **3. 已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和Sn满足Sn＋1＋Sn－1＝2Sn＋1（n≥2且n∈N*），则数列{an}的通项公式为（

）

A. an＝n＋1

15B. an＝－n2＋n

22D. an＝log2（n＋3）

6C. an＝－

n－4

二、填空题

1. 数列an中，a11,an3an134(nN,n2)，若存在实数，使得数列n第3页

ann为等差数列，则＝_________。

31242anN*，则an

。

aa2. 已知数列n满足1，n1an63

三、解答题

5. 设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，已知a11，且(Sn1)an(Sn1)an1对一切nN*都成立。求λ的值，使数列an是等差数列。

6. 已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝错误！未找到引用源。（1）求a2，a3；

（2）求{an}的通项公式。

11，an1an2，求an。

2nn2nan，求an。

2. 已知数列an满足a1，an13n13. 已知数列an中，a11，an12an3，求an。

14. 数列an前n项和Sn4ann2。

（1）求an1与an的关系；（2）求通项公式an。21. 已知数列an满足a1n2an。

3第4页