小结优秀教学设计

“基本不等式：abab”教学设计

2一、教学背景

1、教材分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书

数学5》（人教A版）第三章不等式第四节第一课时。

基本不等式是《不等式》这一章继不等式关系与不等式、一元二次不等式及简单的线性规划后，从几何背景（赵爽弦图）中抽离出的基本结论，强调数形结合思想。它以前面已学习的不等式的基础知识为依据，从利用基本不等式abab求最值这个侧面来体现基本2不等式的应用，是证明其它不等式成立的重要依据。在基本不等式推导过程中渗透了分析法的证明方法，为学生后面学习推理与证明内容打下伏笔。

2、学情分析

学生在此之前掌握了不等式的基础知识及比较法证明不等式，有了良好的知识储备，对于新知识容易接受。但是对于基本不等式的几何背景的理解，需要学生具有良好的逻辑推理能力，去发现图形中隐藏的线段关系，可能会有困难。

二、教学目标

1、知识与技能

学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的代数及几何意义；学会利用基本不等式模型解决最值问题，并且学会构造条件使用基本不等式。

2、过程与方法

从几何背景中抽离数学结论，感悟数形结合思想；探索基本不等式的证明过程，体会从特殊到一般的证明过程。

3、情感态度与价值观

培养学生生活问题数学化，用数学的思维认识生活；通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力，在探究过程中培养学生主动研究、勇于发现的求知精神。

三、教法学法

1、教法

问题引导，启发探究：利于学生思想的交流，思维的碰撞，调动积极性。

讲练结合法：及时巩固所学内容，抓重点，破难点。

2、学法

发现法：学生通过观察发现，从几何背景中抽象出重要不等式。

四、教学重难点

重点：

①应用数形结合的思想理解基本不等式；

②不同角度探索ab难点：

①基本不等式abab的证明过程。

2ab等号成立条件；

2②利用基本不等式模型求最值。

五、教学过程

1.创设情境，几何引入

“安德森”正方形概念本

华为S7

两者屏幕都是6.5寸（对角线长）

问题：从你的直观感觉来看，哪个屏幕更大一些？

【师生互动】学生从直观上觉得“安德森”正方形概念本屏幕大，教师进一步追问能否用数学知识来解释这一感受呢，从而引发学生思考。

【设计意图】通过教师进一步的追问，引发学生思考，并且引出本课主题，通过本课学习让学生感受生活问题的数学化，培养学生数学思维。

2002年国际数学家大会会标

赵爽弦图

问题1：你能从图中得到哪些等式及不等式？

【师生互动】学生能从中找到很多等式与不等式关系，教师引导学生从四个直角三角形面积与大正方形面积间关系入手。

【生1】四个直角三角形面积小于大正方形面积，可以得到ab2ab。

【生2】当中间汇成一个点时，四个直角三角形面积可以等于大正方形面积，所有22a2b22ab。

【师归纳】所以我们从赵爽弦图中由四个直角三角形面积与大正方形面积关系得到一个不等22式：ab2ab，等号取到的条件是当且仅当ab。

22重要不等式：ab2ab，当且仅当ab时取到“=”。

22问题2：你能用代数方法证明重要不等式ab2ab吗？

【师生互动】学生自主探究完成证明，比较自然地想到比较法证明，教师板演展示某一学生的过程，强调ab与ab两种情况，说明“当且仅当”的含义。

【设计意图】介绍国际数学家大会及赵爽背景，体现数学的文化内涵，从赵爽弦图的几何背景中抽离数学知识，体会数形结合的过程。问题2 让学生对知识的直观感知上升到理性证明，体现数学知识发展的严谨性，又巩固了不等式的证明方法，为后续证明基本不等式做铺垫。

2.探究剖析，释疑解惑

【问题3】在重要不等式ab2ab中，用a,b代替a,b可得到什么数学结论？

。

ab2ab，且a0,b0，当且仅当ab时取到“=”【问题4】替换得到的不等式一定成立吗？请证明

【生】作差比较

【师】给出分析法证明过程：要证ab2ab，只要证ab2ab0，只要证22ab0，显然成立，当且仅当ab时取到“=”。

2基本不等式：我们把不等式本不等式。

ababa0,b0，当且仅当ab时取到“=”称为基222【设计意图】激发学生思维，从多角度认识不等式ab2ab与ab2ab的内在联系，其本质是一致的，让学生体会归纳猜想证明的研究过程。

【问题5】能否给基本不等式一个几何解释呢？

探究：图中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，ACa,BCb，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD，你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？

①如何用a,b表示OD？

②如何用a,b表示CD？

③OD与CD的大小关系怎样？

【生1】直角三角形中斜边大于直角边

【生2】在圆中，半弦小于半径

【师】归纳几何解释：圆中半弦不大于半径。此外ab叫做算术平均，ab叫做几何平2均，所以基本不等式的代数解释：两个正数的几何平均数不大于它们的算数平均数。

思考：联系已学内容，基本不等式还能做如何解释？

基本不等式可以从数列角度分析：两个正数的正等比中项不大于它们的等差中项

【设计意图】通过对图形的探究说明基本不等式的几何意义，由于学生对问题理解能力不足，所以讲问题分解成3个小问题，一步步引导学生观察发现，帮助学生建立数形结合思想，使抽象问题更直观，并从多角度解释基本不等式，加深对基本不等式的理解。

3.加深理解，应用巩固

例1、下列结论正确的是（ ）. A.当xR时，x112 B.当x0时，x2

xx412的最小值为4 D.当xR时，x4的最小值为2 2xx4C.当x2时，x【生】A选项双勾函数，应该是x0才正确，C、D选项取不到等号。

【师小结】在使用基本不等式时，要考虑①各项均为正数②和或积为定值③等号成立的条件，归结为“一正二定三相等”。

例2、回归情境

“安德森”正方形概念本

华为S7

两者屏幕都是6.5寸（对角线长）

问题：从你的直观感觉来看，哪个屏幕更大一些？

222【生】可以看面积Sxy，6.5xy2xy，xy的时候取等号，这时是正方形，所以正方形概念本大。

【师】所以基本不等式能够解决生活中的实际问题，有广泛的应用。

变式1、若手机屏幕周长为40cm，问长宽各为多少时，手机屏幕面积最大，最大面积是多少？

【师生互动】学生板演过程，教师评价

【师小结】和定积最大：当x,y皆为正数时，则当xy的值为常数S时，当且仅当xy时，1xy有最大值S2。

4变式2、若手机屏幕面积是64cm，问长宽各为多少时，手机屏幕周长最短，最短周长为多少？

【师生互动】学生讲解，教师板书

【师小结】积定和最小：当x,y皆为正数时，则当xy的值为常数P时，当且仅当xy时，2xy有最小值2p。

【设计意图】通过回归情境，让基本不等式回归到生活应用中，体现数学的应用价值，结合例题加变式的讲解，让学生从和定积最大及积定和最小两个角度更深入地认识基本不等式，强化了应用。

4.总结反思，提升素养

【生】以小组为单位，各自归纳自己对这堂课的收获，由小组代表总结发言. 课堂总结：

基本不等式应用条件：“一正二定三相等”

六、教学反思

本节课通过生活问题引入，启发学生思考，从几何背景中抽离出重要不等式，在此基础上，通过替换变形得到基本不等式，并归纳证明，通过几何图形给出基本不等式的几何解释，结合例题加变式的练习，让学生更深入地理解基本不等式的结构与应用。