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2.基本不等式优秀教学设计｜教案在线预览

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关键词：2.基本不等式优秀教学设计

正文

基本不等式

一、教学目标: 1．知识与技能：进一步掌握基本不等式abab；了解基本不等式的几何背景，2ab，并会用此定2体会数形结合的思想；会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的问题；

2．过程与方法：通过问题的研究，进一步掌握基本不等式ab理求某些函数的最大、最小值。

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣。

二、教学重点和难点

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，引导学生领会运用基本不等式ab难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧

三、教学方法：启发诱导

讲练结合

四、教学过程：

（一）复习重要不等式：

如果a、b∈R，那么a 2＋b 2

≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）

证明：a 2＋b 2－2ab＝（a－b）2

当a≠b时，（a－b）2＞0，当a＝b时，（a－b）2＝0

所以，（a－b）2≥0

即a 2＋b 2

≥2ab（二）讲授新课：

通过学生合作学习教材P5的有关内容理解该不等式的几何意义

提炼出基本不等式

【来源：ab

＋b定理：如果a，b是正数，那么

≥ab

（当且仅当a＝b时取“＝”号）

证明：∵（a

）2＋（b

）2≥2ab

＋ba＋b≥2ab

即2

≥ab



＋b当且仅当a＝b时，2

＝ab

a

＋b如果a，b是正数，我们就称2

为a，b的算术平均，称ab

为a，b的几何平均，因而，此基本不等式可以表述为：两个正数的算术平均不小于它们的几何平均. 几点说明：

＋b（1）a＋b≥2ab和2

≥ab

成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数， 2 2而后者要求a，b都是正数. （2）“当且仅当”的含义是充要条件. 通过教材P6理解此定理的几何意义

（三）例题

求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；

（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短，

证明：设矩形的长为x，宽为y （1）设矩形周长为定值l即2x+2y=l为定值，根据不等式可得xyxy

2lxy

4于是，矩形的面积

l2xy

当且仅当x=y时，等号成立，即当且仅当矩形是正方形时，面积xy取得最16l2大值

16（2）设矩形的面积为定值S，即xy=S为定值，根据基本等式

矩形的周长2(x+y)4xy=4S

当且仅当x=y时，等号成立，即当且仅当矩形是正方形时，周长2(x+y)取最小值4S

重要结论：

一般地，从基本不等式可以得到以下结论：对两个正实数x,y，如果它们的和S是定值，则当且仅当x=y时

，它们的积P取最大值；如果它们的积P是定值，则当且仅当x=y时，它们的和S取得最小值。

（四）巩固练习：

xyxy

1.已知a、b、c、d都是正数，求证：

（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd

2.已知x0,y0，且3.若x2，求x（五）课堂小结：

本节课主要研究了基本不等式的形式及几何意义，并用它来证明一些不等式及求函数的最值，特别注意的是在应用时，要时刻注意定理的变形、适用条件和等号成立的条件。

（六）作业：P10第5、6、7题

281，求xy的最小值．

xy1的最小值．

x2

资料摘要

2.基本不等式优秀教学设计

2.基本不等式优秀教学设计

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