1.3 二项式定理（通用）第二课时教学设计

二项式定理(一)

执教老师：张喆

单位：县二中

一、教学目标：

1、知识与技能：(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.

(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.

2、过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．

3、情感态度与价值观：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．

二、教学重点：用计数原理分析(ab)3的展开式，得到二项式定理．

三、教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.

四、教学准备：多媒体课件，学案

五、教学过程：

（一）提出问题，引入课题

问题1：若今天是星期四，再过20天后是星期几？怎么算？

预期回答：星期三，将问题转化为求“20被7除后算余数”是多少。

问题2：若今天是星期四，再过810天后是星期几？怎么算？

预期回答：将问题转化为求“ 是多少，810=(7+1)10被7除后算余数”也就是研究(ab)n(nN)的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。

【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题. （二）引导探究，发现规律

1

问题1.(a+b)2的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成

问题2.

两个袋子中都装有a,b两种球，每袋两个，现从每袋各取的？(a+b)2=a2+2ab+b2

一个球，共有多少种结果？（请同学们用分类加法的计数原理来计算）

探究1：仿照上述过程，请你推导(ab)3的展开式. 【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对(ab)3的展开式进行再思考，也为推导(ab)n的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

(三) 形成定理，说理证明

探究2：仿照上述过程，请你推导(ab)n的展开式．

0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)——二项式定理

【设计意图】通过仿照(ab)3展开式的探究方法，由学生类比得出(ab)n的展开式．从计数原理的角度进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式，从而得出用组合数表示的展开式． (四) 熟悉定理，简单应用

1.二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）

（1）项数规律：共有n１项. （2）次数规律：各项的次数都等于n．

（3）指数规律：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；

字母b按升幂排列，次数由0递增到n．

012kn2. 二项式系数: 依次为Cn，这里Cnk(k0,1,,n) ,Cn,Cn,,Cn,,Cn3. 二项展开式的通项: 式中的Cnkankbk叫做二项展开式的通项. 用knkkTk1表示.即通项为展开式的第k１项: Tk1=Cnab

2

15(2x)的展开式，及其展开式中第4项的系数和二项式系数

例：求 2注意区别二项式系数与项的系数的概念

二项式系数：Cnk；

项的系数：二项式系数与数字系数的积

14的展开式，及其展开式中x-1

的系数和二项练习： 求 (x)2x式系数

变式：求(x2

-2x+1)2 的展开式

(x2

-2x+1)3 =

( x - 1)6

问题：怎样求( x - 1)6的展开式？ 4．两种变形：

(a-b)n =

Cn0 an -Cn1an-1b+ Cn2an-2b2+ …

+(-1)kCnkan-kbk +…+(-1)n

Cnnbn

(1+x)n =1+ Cn1x+ Cn2x2+ …

+Cnkxk +…+

Cnnxn

010192891007C107C107...C107C107现解决引例中问题

810=(7+1)10C10余数是1，则再过810天后的那一天是星期五。

高考链接：在(x-a)10的展开式中，x7的系数是15，则实数a的值为_______.

【设计意图】熟悉二项展开式，培养学生的运算能力. (五) 课堂小结，课后作业

小结（由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想）

0n1n1knkknn1.

公式：

(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

2.

二项式展开式的特点：

(1)项数：共n+1项

(2)次数：各项的次数都等于n．

(3)指数：a,b的指数变化趋势分别是n减少到1、1增加到n，但指数和为n 3.

二项式系数：第k+1项的二项式系数是Cn(k0,1,2,n)

k

3

4.

二项式通项：Tk1Cnxknkyk(k0,1,2,n)是展开式第k+1项。

5.

项的系数和二项式系数的区别

6.

思想方法：运用归纳的数学方法，从特殊到一般的思维方式. 作业：巩固型作业：同步21，22页

012kn思维拓展型作业：二项式系数Cn有何性质．

,Cn,Cn,,Cn,,Cn六、板书设计：

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