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小结： 基本不等式及其应用

【教学目标】1.了解基本不等式的证明过程．

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

【知识梳理】

一、基本不等式：a＋b2≤ab

1．基本不等式成立的条件：___________. 2．等号成立的条件：当且仅当________时取等号．

3．其中a＋b2称为正数a，b的算术平均数，

ab称为正数a，b的____________. 二、基本不等式的变形

1．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．当且仅当a＝b时取等号．

2．ab≤________ (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

13．a＋≥2(a>0)，当且仅当a＝1时取等号；

aa＋≤______ (a<0)，当且仅当a＝－1时取等号．

a4.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．

三、利用基本不等式求最值

已知x＞0，y＞0，则

1．如果积xy(积为定值)是定值p，那么当且仅当______时，x＋y有最_____值是2p.(简记：积定和最小) 2．如果和x＋y(和为定值)是定值s，那么当且仅当______时，积xy有最____值是.(简4记：和定积最大) 复习回顾：

1 1baabs2

1.若正数a，b满足ab(ab)1，则a+b的最小值是(

)

(A)

222

(B)

222

(C) 25

(D)521112．设x，y均为正实数，且＋＝，则xy的最小值为__________．

2＋x2＋y33、已知a>0,b>0，若不等式

[来源:Z_xx_k.Com]21m恒成立，则m的最大值等于(

) ab2ab

(A)10

(B)9

(C)8

(D)7

4.下列结论中正确的是(

)

(A)若a>0,则(a1)(111)2

(B)若x>0,则lnx2

alnx112222

(C)若a+b=1,则ab

(D)若a+b=1,则ab

22

【小结】

基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用．

【重点难点突破】

1利用基本不等式证明不等式

例1.不已知a、b、c都是正数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc

【解析】∵a、b、c都是正数

∴ab2ab0

（当且仅当ab时，取等号） bc2bc0

（当且仅当bc时，取等号）

ca2ca0

（当且仅当ca时，取等号）

学-科网

∴(ab)(bc)(ca)2ab2bc2ca8abc（当且仅当abc时，取等号）

即(ab)(bc)(ca)8abc. 例2.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：11119. ab1，

【解析】∵a0，b0，a＋b＝∴1+1abb1aba11=1+=2+.同理，1+=2+.∴1122

aaabbabab2

＝5+2∴11baba5+4=9，当且仅当，即a=b=时取“＝”．

2abab111ab，当且仅当时等号成立．

192ab【小结】

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．

1|a|的最小值为______.

2|a|b1|a|ab|a|ab|a|a1【解析】因为ab2，所以。显然当a0时，且4|a|b4|a|4|a|b4|a|2|a|b【变式一】

设a + b = 2, b>0, 则om]b2a时，上式取等号，此时b2a，联立ab2，解得a2，此时1以当a2时，a231。所4|a|42431|a|的最小值为

2|a|b42 利用基本不等式求最值

例3.已知关于x的不等式x-4ax+3a＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），则x1x222a的最大值是（

）

x1x2A. 6234343 B. C. D. 

333322【解析】：不等式x-4ax+3a＜0（a＜0）的解集为（x1，x2）， 根据韦达定理，可得：

x1x23a2，x1+x2=4a， 那么：

x1x2∵a＜0， ∴-（4a+1a=4a+． 3ax1x21431143）≥24a=，即4a+≤- 3a3a333a43a的最大值为． 3x1x2[来源:学科网ZXXK]故x1x2故选：D．

3

例4设正实数x,y,z满足x3xy4yz0,则当22z取得最小值时,x2yz的最大值为

（

）

xyD．A．0 2B．9

82C．2 9

4zx23xy4y2x4y【解析】由题设知zx3xy4y，解得3431，

xyxyyx当且仅当x2y时取等号，(z)min1. xy112y4x2(2y)(4x)()2，故选C. 222

x2yz2y2yxyy(4x)【小结】

基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．

注意：形如y＝x＋(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．

22例6.已知圆C1:x2ay4和圆C2:xyb1只有一条公切线，若a,bR且ab0，则22ax11的最小值为（ ）

22abA. 2 B. 4 C. 8 D. 9 答案选 D 3 基本不等式的实际应用

例7. 公园管理方想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD＝60 m，AB＝40 m，且△EFG中，∠EGF＝90°，经测量得到AE＝10 m，EF＝20 m，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G作一直线分别交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DN＝x(m)．

(1)将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；

(2)当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．

【解析】(1)作GH⊥EF，垂足为H. 4

∵DN＝x，∴NH＝40－x，NA＝60－x，

∵NHNA40－x60－x600－10x＝，∴＝，∴AM＝. HGAM10AM40－x215（60－x）S五边形MBCDN＝S矩形ABCD－S△AMN＝40×60－·AM·AN＝2 400－. 240－x∵N与F重合时，AM＝AF＝30适合条件，∴x∈(0，30]．

5（60－x）400400(2)y＝2 400－＝2 400－5[(40－x)＋＋40]，当且仅当40－x＝，即x＝20∈(0，30]40－x40－x40－x时，y取得最大值2 000, ∴当DN＝20 m时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2 000 m.答略．

22【小结】

用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：[来源:学*科*网Z*X*X*K]

(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案. 114.易错典例：已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝(x＋)(y＋)的最小值为________．

xy1[错解] 错解一：因为对a>0，恒有a＋≥2，

a11从而z＝(x＋)(y＋)≥4，

xy所以z的最小值是4. 2＋xy－2xy错解二：z＝

22xy2＝(＋xy)－2≥22xyxy·xy－2＝2(2－1)，

所以z的最小值是2(2－1)．学科*网

易错分析：错解的错误原因是等号成立的条件不具备．

111yx1正确解析：

z＝(x＋)(y＋)＝xy＋＋＋＝xy＋＋xyxyxyxyx＋y2－2xy2＝＋xy－2，

xyxy令t＝xy，则0

【课堂小结】

x＋y121122)＝，由f(t)＝t＋在(0，]上单调递减，故当t＝时，f(x)＝t＋有最小24t44t33125，所以当x＝y＝时z有最小值. 4245

1．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

a＋b2，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公2．对于公式a＋b≥2ab，ab≤2式也体现了ab和a＋b的转化关系．

3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤a2＋b2a＋b；a＋b2(a，b>0)等．还要注意“添、拆项”技≥ab(a，b>0)逆用就是ab≤222巧和公式等号成立的条件等。

【课后作业】

1.已知函数f(x)＝4x＋ax(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________. 2.定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝3x，若f(a＋b)＝9，则f(ab)的最大值为________．

3.

(1)已知0

(2)已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求82x＋y的最小值. 4.

(1)若正实数x、y满足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值；

(2)求函数y＝x2＋7x＋10x＋1(x>－1)的最小值．

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