2.2.1 综合法和分析法优质课教案设计

综合法和分析法证明不等式

————泸州高中

张玲玲

教学目标：

1.理解综合法证明不等式的思路，会用综合法证明简单不等式。

2.理解分析法证明不等式的思路，会用分析法证明简单不等式。

3.能综合应用综合法和分析法证明不等式。

教学重点：用综合法和分析法证明不等式

教学难点：根据问题的特点，选择适当方式证明不等式。

教学过程：

一．引入课题

用祖国风景秀丽的山水图片激发学生去探求的兴趣。并及时提出关于旅行安全的问题：

“如果在野外迷路了，你会怎么办？”

抽学生回答，将学生的回答归结为两种方式：

外面

你的位置

而这种思路既可以用于野外自救，也可以用于解决数学的证明题。从而引入课题。

二．回顾复习

1.不等式的性质

2.基本不等式及推广式

（在复习时强调式子的结构特征和成立条件）

三．讲授新课

例1 已知a,b,c0,且不全相等,

求证a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc

证明: b2c22bc,a0,a(b2c2)2abc

c2a22ac,b0,b(c2a2)2abc

2222

ab2ab,c0,c(ab)2abc

由于a,b,c不全相等,所以上述三个式子中至少有一个不

取等号,把它们相加得

a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc

（让学生分析和说出证明的方法，强调观察式子的结构特征，不等号的方向，系数等

并说明解决这个题的思路是用已知的重要不等式经过推理，论证得到所证的结论，这种

证明不等式的方式叫综合法。）

1.综合法

从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法. 数学符号表示：

AB1B2BnB

(已知) 顺推 (结论)

与引入中的从外面去找寻你的位置类比，又可以概括为：由因导果。

通过前例对比说明用综合法证明不等式的关键：观察式子的结构，不等号的方向，系数等都能帮助我们找寻证明的突破口。

目标性：将不等式左端的结构化为右边的结构，或右边化左边。

将已知的结构化向所证的结构，或者将所证的结构化向已知的结构。

探究与练习：

.1已知a1,a2,...,anR,且a1a2an1,求证（1a1)(1a2)(1an)2n.

法1. 解：a1,a2anR

1a12a10

目标：左边化向已知条件结构

1a22a20



1an2an0

(1a1)(1a2)(1an)2na1a2an

又a1a2an1

(1a1)(1a2)(1an)2n

a1,a2anR，

法2 解：

1a1目标：已知条件结构化向所证式 01a1

2子

1a2 01a2

2



1an 01a

n2

(1a1)(1a2)(1an)

a1a2ann2

又a1a2an1

(1a1)(1a2)(1an)2n

2.已知a,b,cR，证明（abab1)(abacbcc2)16abc

a1(b1)(ac)(bc)解：左边可化为

a,b,cR

a12a0

b12b0

ac2ac0

bc2bc0

a1(b1)(ac)(bc)16abc

即原不等式成立。

例2.证明2736解270,360要证27362即证（27）(36)2展开得：92149218即证：1418

即证：14181418成立2736成立

思考这个题的证明思路和综合法的思路相反，由所证结论出发，逐步找它成立的充分条件直到一个明显成立的结果，这种证明不等式的方法叫分析法。

2.分析法（执果索因）

从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 数学符号表示：

BB1B2BnA结 (步步寻求不等式

已

论 成立的充分条件) 知

这与引入中的从你的位置逐步探求出去的路是一样的思路。

强调分析法的解题步骤的书写和分析法的好处是：容易探求出入口。

三．分析法和综合法的交替使用

用分析法探求思路，用综合法书写证明过程。

a2b2b2c2c2a2例3 已知a,b,c0,求证abc

abc

证明: b2c22bc,a20,a2(b2c2)2a2bc

c2a22ac,b20,b2(c2a2)2b2ac

a2b22ab,c20,c2(a2b2)2c2ab

2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2b2ac2c2ab

a2b2b2c2c2a2abc(abc)

1又a,b,c0,abc0,0,

abc

a2b2b2c2c2a2故abc

abc（体会用分析法探求思路，用综合法书写证明过程）

四．课时小结

1.综合法：由因导果

AB1B2BnB(已知) 顺推 (结论)

2.分析法：执果索因

BB1B2BnA结 (步步寻求不等式

已

论 成立的充分条件) 知

3.分析法和综合法交替使用：用分析法探求思路，用综合法书写证明过程

总结：值得注意的事，由因导果和执果索因交替使用的思路对解决其他的数学问题同样适用：

结论不知道如何处理时先去化简条件，再找它和结论的关系。条件无法化简时，先去看结论，找寻结论的充分条件，再找它和条件的关系。希望大家在今后的解题过程中注意这种思想的应用！）

五．课后作业：1.复习体会本节内容。

2.完成书后习题2.2的2-9题。

六．板书设计：

综合法和分析法证明不等式

投影区

1.综合法

已知

结论

关键：

目标性：

2.分析法

结论

已知

3.分析法和综合法交替使用

例题板书