小结教学目标设计

必修5 3．4基本不等式复习

复习目标：

1.了解基本不等式的证明过程；

2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 3.通过具体题目进一步掌握分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想、换元思想、整体思想等重要的数学思想. 重点难点：

重点：应用基本不等式求函数的最值. 难点：通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设应用基本不等式的情境.

一、基础回顾

1如果a,b是正实数，那么ab

ab，当且仅当

a=b

时取“=”号. 2

2.几个重要的不等式

(1)a+b≥ _______(a,b∈R).

(2) baab22

≥____(a,b同号).

(3) ab(ab2)2 (a,b∈R).

a2b2ab2()2 (a,b∈R).

(4) 23.算术平均数与几何平均数

设a>0,b>0，则a,b的算术平均数为 ,几何平均

数为______，基本不等式可叙述为：_____________二、公式运用:和定积最大,

积定和最小

利用基本不等式求最大（小）值问题时要抓住“一正、二定、三相等”.“一正”就是要求a,b都为正数；“二定”就是要求和a+b或积ab必须是定值；“三相等”就是看等号能否成立.三个条件缺一不可. 三、例题精讲（利用基本不等式求最值）

9例1.已知函数f(x)4x(x0).

x（1）当x0时，求函数的最小值；

（2）当x0时，求函数的最大值； （3）求函数的值域.

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解

（1）x0时，f(x)24x93912,当且仅当4x,即x时“=”成立. x2x所以当x0时，函数的最小值为12. 9（2）x0时，f(x)=-[(-4x)+(-)]

x92(4x)()12,

x93当且仅当4x,即x时“=”成立. x2所以x0时，函数的最大值为-12. （3）由（1）（2）知函数的值域为(-,12][12,). 另解:

|f(x)||4x399|4|x|12,当且仅当|x|=时，“=”成立. 2x|x|要点归纳：利用基本不等式求最值时,各项必须为正数,若为负数,则添负号变正.

变式练习1.求函数f(x)3lgx4（x0,且x1）的值域. lgx44,即x100时“=”成7，当且仅当lgx=lgxlgx解:当x1时,lgx0,f(x)32lgx立. 当0

另解：

|lgx44||lgx|4,当且仅当|lgx|=2时“=”成立. lgx|lgx|1的最小值以及取得最小值时x的值. x1111(x1)12(x1)13.

x1x1x1例2.已知x1,求x解：由于x1,x10,x当且仅当x1=1时“=”成立，于是x2或x0（舍去）. x1

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所以x1的最小值为3，取得最小值时x的值为2. x1要点归纳：通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.

51变式练习2.已知x<,求y4x2的最大值. 44x5511=-(5-4x)+3-2+3=1.

解：由于x,5-4x>0.

y4x-244x554x1当且仅当5-4x=，即x1时“=”成立. 54x所以当x1时，y取得最大值1. 例3.判断下列推理是否正确. 求ysin2x2的最小值. sin2x错解：由于sin2x0,sin2x0,y2sin2x222.所以y的最小值为22. 2sinx正解：令tsin2x,则0

t1时y取得最小值3，所以y的值小值为3.令tsin2x,则0

变式练习3.求函数yx23x22的最小值. 解：y(x22)1x22x221x22 ,令tx22,则t2，132易知yt在t[2,)上为增函数，t2，即x0时y取得最小值. t2所以y的值小值为32.

219例4.已知x0,y0，且1，求xy的最小值. xy错解：1191962=,xy6,xy2xy12,xy的最小值为12. xyxyxy19y9x10616,

解法1（整体代换法）：xy()(xy)10xyxy当且仅当y9x19=时“=”成立，又1，所以x=4,y=12时x+y取得最小值16. xyxy

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9x19,又x0,y0,x1,

解法2（变量代换函数法）：由1，得yx1xyxyx9x

x1x99

x19x110

x19，即x=4时“=”号成立. x161016. 当且仅当x1所以xy的最小值为16. 要点归纳：当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能使等号成立，并且要保证取等号的条件的一致性，否则就会出错！

变式练习4.已知a0,b0,且a2b2,求t解：t11的最小值. ab11112ba12ba(a2b)()(3）（322）时“=”成立，又，当且仅当2ab2ab2aba2b2，所以当且仅当a22-2,b2-2时，t取得最小值322.

2四、课堂练习

求下列各题的最值. （1）已知x>0,y>0,lg x+lg y=1,求（2）x>0,求 f(x)123xxz25xy

的最小值；

的最小值；

（3）x<3，求 f(x)4xx3

的最大值；

5sinx1

的最小值

2（4）x∈R，求 f(x)sin2x1（5）下列函数中最小值为4的是（

C

） A.yx44(0xπ) C.y4exex D.ylog3xlogx3(0x1)

B.ysinxxsinx（6）若ab2，则3a3b的最小值是（

B

）

A.18 B.6 C.23 D.243

x26x14(x1)的最小值是

10 .

（7）函数yx1

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（8）已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,则xy的最大值是

18 . •五、课堂小结

•(1)失误与防范：使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在

前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.

(2)构造“和为定值”或“积为定值”求最值；

• (3)通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设应用基本不等式的情境.

六、课后作业

1.已知m0,n0,mn1,求2.求函数y-x22x82的最小值；

mn1的最大值. x22x3

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