2.1.2 演绎推理教学设计和教学实录

2.1.2 演绎推理

三维目标

1．知识与技能

(1)让学生知道演绎推理的含义，以及演绎推理与合情推理的联系与差异．

(2)能运用演绎推理的基本方法“三段论”进行一些简单的推理．

2．过程与方法

(1)结合已学过的数学实例和生活中的实例，引出演绎推理的概念．

(2)通过对实际例子的分析，从中概括出演绎推理的推理过程．

(3)通过一些证明题的实例，让学生体会“三段论”的推理形式．

3．情感、态度与价值观

让学生体会演绎推理的逻辑推理美，让学生亲身经历数学研究的过程，感受数学的魅力，进而激发自身的求知欲．了解演绎推理在数学证明中的重要地位和日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的思维习惯．

重点难点

重点：了解演绎推理的含义，理解合情推理与演绎推理的区别与联系，能利用“三段论”进行简单的推理．

难点：利用三段论证明一些实际问题．

通过比较合情推理与演绎推理的区别与联系，加深学生对概念的理解，在演绎推理的应用中要注意大前提、小前提的应用方法与技巧，注意推理形式的正确性．可将常见的证明题型分类研究，探究每种题型的特点，总结证明方法的特征，学以致用使所证问题化难为易．

教学方式

建议本课运用自学指导法，通过创设问题情境，引导学生自学探究演绎推理与合情推理的区别与联系，了解演绎推理的作用和应用方式方法．教师指导重点应放在“三段论”的理解与应用上，师生共同研讨大前提、小前提、结论之间的关系，帮助学生分析大前提、小前提的作用及应用方法，引导学生挖掘证明过程包含的推理思路，明确演绎推理的基本过程，总结规律方法，使学生能举一反三、触类旁通．本部分的练习题不在“多”，而在“精”，关键在理解．

教学流程

创设问题情境，引出问题，引导学生认识演绎推理的概念，了解演绎推理与合情推理的区别与联系．利用填一填的形式，使学生自主学习本节基础知识，并反馈了解，对理解有困难的概念加以讲解．引导学生在学习基础知识的基础上完成例题1，总结三段论的特点．通过变式训练，总结此类问题易犯的错误．师生共同分析探究例题2的证明方法：找

出大前提、小前提，利用三段论给出证明．引导学生完成互动探究．

探究一演绎推理

看下面两个问题：

(1)一切奇数都不能被2整除，(22 012＋1)是奇数，所以(22 012＋1)不能被2整除；

(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．

1．这两个问题中的第一句都说的是什么？

【提示】

都说的是一般原理．

2．第二句又说的是什么？

【提示】

都说的是特殊示例．

3．第三句呢？

【提示】

由一般原理对特殊示例作出判断．

1．演绎推理

(1)含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理．

(2)特点：由一般到特殊的推理．

2．三段论

大前提

小前提

结论

殊情况做出的判断

探究二

把演绎推理写成三段论形式

例1

将下列推理写成“三段论”的形式：

(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；

(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；

·一般模式

已知的一般原理

所研究的特殊情况

根据一般原理，对特

S是P

常用格式

M是P

S是M

(3)0.332

是有理数；

(4)

＝ x∈R)是周期函数．

【思路探究】

首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式．

【自主解答】

(1)向量是既有大小又有方向的量，

大前提

零向量是向量，小前提

所以零向量也有大小和方向．结论

(2)每一个矩形的对角线都相等，大前提

正方形是矩形，小前提

正方形的对角线相等．结论

(3)所有的循环小数都是有理数，大前提

·0．332是循环小数，小前提

·0．332是有理数．结论

(4)三角函数是周期函数，大前提

＝ 是三角函数，小前提

＝ 是周期函数．结论

规律方法

用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．

变式练习

指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：

(1)整数是自然数，大前提

－3是整数，小前提

－3是自然数．结论

(2)常数函数的导函数为0，大前提

函数f(x)的导函数为0，小前提

f(x)为常数函数．结论

(3)无理数是无限不循环小数，大前提

1(0.333 33…)是无限不循环小数，小前提

31是无理数结论

3【解析】

(1)结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数．

(2)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．

1(3)结论是错误的，原因是小前提错误.(0.333 33…)是循环小数而不是无限不循环小数. 3

探究三

三段论在证明几何问题中的应用

例2

已知在梯形ABCD中，DC＝DA，AD∥BC.求证：AC平分∠BCD.(用三段论证明) 【思路探究】

观察图形→DC＝DA⇒∠1＝∠2→AD∥BC⇒∠1＝∠3→∠2＝∠3 【自主解答】

∵等腰三角形两底角相等，大前提

△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，

小前提

∴∠1＝∠2.结论

∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，

大前提

∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，

小前提

∴∠1＝∠3.结论

∵等于同一个角的两个角相等，大前提

∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提

∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.结论

规律方法

1．三段论推理的根据，从集合的观点来理解，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P. 2．数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论可作为下一个三段论的前提．

规律方法

合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．二者结合可以利用合情推理去发现问题，然后用演绎推理进行论证．

*作业：已知命题：“若数列{

n}是等比数列，且

n>0，则数列bn＝

(

∈N)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．

【解析】

类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{an}是等差

数列，则数列bn＝

也是等差数列．证明如下：

设等差数列{

n}的公差为d，则bn＝d＝

1＋(n－1)，

2d所以数列{bn}是以

1为首项，为公差的等差数列．

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