小结优秀教案设计

一、本章知识网络

二、知识要点归纳

1．不等式的基本性质

不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．

2．一元二次不等式的求解方法

(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集．

(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．

当m0，则可得x>n或x

若(x－m)(x－n)<0，则可得m

3．二元一次不等式(组)表示的平面区域

(1)二元一次不等式(组)的几何意义：二元一次不等式(组)表示的平面区域.

(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定：对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数．当B>0时，①Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；②Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域．

4．求目标函数最优解的两种方法

(1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；

(2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．

5．运用基本不等式求最值，把握三个条件

(1)“一正”——各项为正数；

(2)“二定”——“和”或“积”为定值；

(3)“三相等”——等号一定能取到．

三、题型探究

题型一

“三个二次”之间的关系

对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：①相应的二次函数图象及与x轴的交点，②相应的一元二次方程的实根；反之，对于二次函数(二次方程)的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根(相应的二次函数的图象及与x轴的交点)．

例1

不等式2x2＋mx＋n＞0的解集是{x|x＞3或x＜－2}，则二次函数y＝2x2＋mx＋n的表达式是(

) A．y＝2x2＋2x＋12 B．y＝2x2－2x＋12 C．y＝2x2＋2x－12 D．y＝2x2－2x－12 答案

D －2＝3－2＝1，解析

由根与系数的关系得n2＝3×－2＝－6∴y＝2x2－2x－12. 题型二

恒成立问题

m

m＝－2，⇒

n＝－12.

对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种

(1)变更主元法：

根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元．

(2)分离参数法：

若f(a)g(x)恒成立，则f(a)>g(x)max. (3)数形结合法：

利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．

例2

已知函数f(x)＝mx2－mx－6＋m，若对于m∈[1,3]，f(x)＜0恒成立，求实数x的取值范围．

解

方法一

f(x)＜0⇔mx2－mx－6＋m＜0⇔(x2－x＋1)m－6＜0. ∵x2－x＋1＞0，

1－51＋56∴m＜2＞3⇔x2－x－1＜0⇔＜x＜. 22x－x＋11－51＋5. ∴x的取值范围为x＜x＜22

方法二

设g(m)＝f(x)＝mx2－mx－6＋m＝(x2－x＋1)m－6. 由题意知g(m)＜0对m∈[1,3]恒成立．

∵x2－x＋1＞0，∴g(m)是关于m的一次函数，且在[1,3]上是单调增函数，

∴g(m)＜0对m∈[1,3]恒成立等价于g(m)max＜0，

即g(3)＜0. 1－51＋5∴(x2－x＋1)·3－6＜0⇔x2－x－1＜0⇔＜x＜，

22∴x的取值范围为x1＋51－5. 2＜x＜2

题型三

简单的线性规划问题

关注“线性规划”问题的各种“变式”：诸如求面积、距离、参数取值的问题经常出现，①“可行域”由不等式和方程共同确定(为线段或射线)，②“约束条件”由二次方程的“区间根”间接提供，③“约束条件”非线性，④目标函数非线性，如：x－a2＋y－b2(距离)等．

求目标函数z＝ax＋by＋c的最大值或最小值时，只需把直线ax＋by＝0向上(或向下)平行移动，所对应的z随之增大(或减少)(b>0)，找出最优解即可．在线性约束条件下，求目标函数z＝ax＋by＋c的最小值或最大值的求解步骤为：

(1)作出可行域；

(2)作出直线l0：ax＋by＝0；

(3)确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；

(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值．

2x＋y－2≥0，例3

已知实数x，y满足x－2y＋4≥0，求w＝x2＋y2的最大值和最小值．

3x－y－3≤0，解

画出不等式组

x－a(斜率)，y－b

2x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，3x－y－3≤0，

表示的平面区域，如图所示的△ABC包括边界及其内部．

∵w＝x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2表示的是可行域内的动点M(x，y)到原点O(0,0)的距离的平方，

∴当点M在边AC上滑动，且OM⊥AC时，w取得最小值，于是wmin＝d2＝当点M滑到与点B(2,3)重合时，w取得最大值，

即wmax＝(2－02＋3－02)2＝13，

4故wmin＝，wmax＝13. 5题型四

利用基本不等式求最值

利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解．

例4

已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(

) 911A．3

B．4

C.

D.

22答案

B 解析

方法一

依题意得，x＋1＞1,2y＋1＞1，易知(x＋1)·(2y＋1)＝9，则(x＋1)＋(2y＋1)≥2x＋12y＋1＝29＝6，当且仅当x＋1＝2y＋1＝3，即x＝2，y＝1时，等号成立，因此有x＋2y≥4，所以x＋2y的最小值为4. 8－2y－2y＋1＋9方法二

由题意得，x＝＝

2y＋12y＋19＝－1＋

2y＋1∴x＋2y＝－1＋≥299＋2y＝－1＋＋2y＋1－1 2y＋12y＋1|0＋0－2|24＝；

22＋1259·2y＋1－2＝4，

2y＋1当且仅当2y＋1＝3，即y＝1时，等号成立．

四、思想方法总结

1．分类讨论思想

解含有字母的不等式时，往往要对其中所含的字母进行适当的分类讨论．分类讨论的原因大致有以下三种：

(1)对不等式作等价变换时，正确运用不等式的性质而引起的讨论．

(2)对不等式(组)作等价变换时，由相应方程的根的大小比较而引起的讨论．

(3)对不等式作等价变换时，由相应函数单调性的可能变化而引起的讨论．

x－a例1

解关于x的不等式＜0(a∈R)．

x－a2解

首先将不等式转化为整式不等式(x－a)(x－a2)＜0，而方程(x－a)(x－a2)＝0的两根为x1＝a，x2＝a2，故应就两根a和a2的大小进行分类讨论．

原不等式等价于(x－a)(x－a2)＜0. (1)若a＝0，则a＝a2＝0，不等式为x2＜0，解集为∅；

(2)若a＝1，则a2＝1，不等式为(x－1)2＜0，解集为∅；

(3)若0＜a＜1，则a2＜a，故解集为{x|a2＜x＜a}；

(4)若a＜0或a＞1，则a2＞a，故解集为{x|a＜x＜a2}．

2．转化与化归思想

不等与相等是相对的，在一定条件下可以相互转化．解题过程就是一个由已知条件向待定结论等价转化的过程．无论哪种类型的不等式，其求解思路都是通过等价转化，

把它们最终归结为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)的求解．由于不等式的解集一般是无限集，因此不等式非等价变换产生的多解或少解是无法由检验而予以剔除或增补的，这就要求解不等式的每一步变换都是等价变换，而这种变换的目标应是代数化、有理化、二次化一次、高次化低次等．

例2

已知奇函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递减，α，β，γ∈R且α＋β＞0，β＋γ＞0，γ＋α＞0.试判断f(α)＋f(β)＋f(γ)的值与0的关系．

解

∵f(x)为R上的减函数，

且α＞－β，β＞－γ，γ＞－α，

∴f(α)＜(－β)，f(β)＜f(－γ)，f(γ)＜f(－α)，

又f(x)为奇函数，

∴f(－β)＝－f(β)，f(－α)＝－f(α)，f(－γ)＝－f(γ)，

∴f(α)＋f(β)＋f(γ)＜f(－β)＋f(－γ)＋f(－α) ＝－[f(β)＋f(γ)＋f(α)]，

∴f(α)＋f(β)＋f(γ)＜0.

1.不等式的应用非常广泛，它贯穿于高中数学的始终．在集合、函数、数列、解析几何及实际问题中多有不等式的应用．本章的重点是简单的线性规划问题，基本不等式求最值和一元二次不等式的解法．

2．考查角度通常有如下几个方面：

(1)对各类不等式解法的考查，其解题关键是对于生疏的，非规范化的题目转化为熟悉的、规范化的问题去求解；

(2)对含参数的不等式的解法的考查，解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，应注意寻找讨论点，以讨论点划分区间进行求解．

(3)与函数、三角函数、向量等知识相结合，以解题工具的面貌出现在解答题中，以求解参数的取值范围为主，并且将更加突出对不等式的灵活性、综合性及应用性的考查．