2.2.2 直线方程的几种形式优质教案设计

课题：直线的一般式方程

教材：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）

授课教师：刘丽云

本节课选自普通高中课程标准实验教科书（人教A版）必修2第三章第二节。

课程类型：新授课

一、教学目标

(1) 知识与技能

掌握直线方程的一般式AxByC0的特征（A、B不同时为零）；能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一些几何量（斜率、截距等）。

（2）过程与方法

通过探究直线与二元一次方程的关系，让学生积极、主动地参与课堂，在观察、操作、分析、归纳之后得出直线的一般式方程，培养了学生勇于探究的精神和运用化归转化、分类讨论的数学思想方法解决问题的能力。

（3）情感态度与价值观

通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣。同时，让学生认识事物之间的普遍联系与互相转化，用联系的观点看问题。

二、教学重点与难点

根据对教材的分析和教学目标的确定，并结合学生的认知水平，我确定本节课的重点和难点如下：

重点：理解直线与二元一次方程的关系，直线的一般式与其它形式的互化以及分类讨论思想的应用。

难点：直线与二元一次方程关系的理解。

三、教法与学法

（一）教法

本节课将采用“问题驱动式”和“启发式”教学法，在学生思维的最近发展区内提出适度启发的问题，引导学生观察，猜测，推理，总结和反思，使学生思维紧紧围绕“问题”层层展开，培养学生的学习兴趣和探究精神，展现了学生“主动参与，乐于探究，交流与合作”为主要特征的学习方式，也充分体现了教师为主导，学生为主体的教学理念。

（二）学法

通过本节课的教学，不仅要让学生学会知识，更重要的是由学会变为会学，让学生在探究活动中，自主探究知识，逐步掌握自主获得知识的学习方法。

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四、教学过程设计

（一）复习回顾，创设问题情境

回忆前面学习内容，说出直线方程的几种表示形式：

形式

条

件

方

程

应用范围

点斜式

过点P(x0,y0)，斜率为k

yy0k(xx0)

k存在

斜截式

斜率为k，在y轴的截距为b

ykxb

k存在

过不同两点P1(x1,y1)、两点式

yy1xx1Pyy

x1x2且y1y2

2(x2,y2)

21x2x1截距式

在x轴、y轴上的截距分别为a、xk存在且k0b

ayb1

且不过原点

问题1：从上述几种形式的直线方程中，能否找到它们的共同特点？

答：关于x，y的方程。

（设计意图：从学生原有知识出发，深入探究和学习，符合学生认知发展的规律。）

（二）探索新知

学生活动1：学生动手操作，将四种形式整理转化，并观察分析。

（设计意图：通过让学生回顾、观察、动手、分析和总结，能够让学生积极主动的投入课堂中，充分调动他们思维的活跃性。）

点斜式: yy0k(xx0)

kxyy0kx00

斜截式: ykxb

kxyb0

两点式: yy1yyxx1x

y2y1xx2x1y2x1x1y2y21x21截距式: xayb1

bxayab0

统一性：四种直线方程形式都统一转化为形如：AxByC0的形式。

问题2：是不是所有直线都可以表示成形如AxByC0的形式呢？

教师引导学生思考以上这四种直线方程形式并不能表示所有直线，都有一定的局限性。

2 1y0

1x

问题3：前四种形式不能表示的直线能否也可以表示成形如AxByC0的形式？

（设计意图：寻找学生最近发展区，引发冲突，能够激发学生的探究意识和进一步学习的兴趣。）

点斜式、斜截式：不能表示k不存在的直线；（xa即x0ya0）

两点式：不能表示垂直于x轴和垂直于y轴的直线。（yb即0xyb0）

截距式：不能表示过原点的直线。（ykx即kxy00）

优越性：四种形式表示的直线都可转化为AxByC0（A、B不同时为零）

，且前四种形式不能表示的直线也可以用AxByC0（A、B不同时为零）表示。

结论一：平面直角坐标系中，每条直线都可以表示成关于x、y的二元一次方程：AxByC0（A、B不同时为零）。

问题4：每一个关于x、y的二元一次方程AxByC0（A、B不同时为零）

都能表示成一条直线吗？

教师引导学生从原有的知识基础出发，思考要解决这个问题，就要看它能否化成直线方程的某种形式。

学生活动2：动手操作。

学生答案：yACx，所以方程可以表示一条直线。

BB（教师引导学生完善，体现分类讨论的思想）

ACx

BBC(2) B0,A0,x（垂直于x轴的直线）

A(1) B0,y（设计意图：化为未知为已知的过程，由学生自己去尝试、探索、犯错、改正，让学生自己在头脑中形成正确的思路，深刻体会分类讨论思想需要注意的问题。）

结论二：每个关于x、y的二元一次方程AxByC0（A、B不同时为零）都

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可表示一条直线。

定义：直线的一般方程。关于x，y的二元一次方程AxByC0（A、B不同时为零）叫做直线的一般方程。

注：（1）在平面直角坐标系中，表示任何一条直线的方程都是关于x，y的二元一次方程，反之，每一个关于x，y的二元一次方程都表示直角坐标系中的一条直线。（2）直线方程的特殊形式与一般形式可以互化。

在揭示这一概念内涵时，需要进行正反两方面的分析论证，让学生学会严谨科学的学习态度，同时培养学生辩证唯物主义观点。

学生活动3：小组讨论，合作交流。

问题5：在方程AxByC0，A,B,C为何值时，方程表示的直线：

（1）垂直于x轴；

（2）垂直于y轴；

（3）与x轴重合；

（4）与y轴重合；

（5）过原点；

（6）在两坐标轴上的截距都相等。

通过学生的积极讨论与交流，由学生代表发言，教师和学生一起评价，使学生明白，二元一次方程系数不同时，可以表示坐标平面内各种直线，同时引导学生在分类讨论时，要选择合适的分类标准，使讨论不重不漏。

（设计意图：通过让学生分组讨论，充分发挥学生学习的积极性和主动性，培养学生共同探索问题和解决问题的能力，提升他们的团结、合作意识。）

（三）知识应用，巩固提升

学生活动4：学生独立思考，个别学生上黑板板演，教师巡视指导。

4（6，-4）1、（课本98,例5）已知直线过点A，斜率为，求直线的点斜式和一3般式方程。

2、（课本98,例6）把直线l的一般式方程x2y60化成斜截式，求出直线l的斜率k以及它在x轴和y轴上的截距，并画出图形。

（设计意图：培养学生独立思考和解决问题的能力，在这个过程中让学生体会直线的一般方程与其他形式的互化，并明确各种形式中的一些几何量（斜率、

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截距等）。）

例2的深化理解：

通过画出两点确定一条直线，理解和体会方程的解和直线上点的关系：方程AxByC0（A、B不同时为零）的每一组解都一一对应平面直角坐标系中一个点的坐标。

点(x0,y0)在直线AxByC0上Ax0By0C0。

（设计意图：为后续学习中用定量的方法研究直线的性质做好铺垫，例如平行、垂直、两直线交点、点到直线的距离等问题，也为继续学习曲线方程打下基础。）

3、自主练习

（1）课本99，练习1 （2）课本100.练习2（1）

（设计意图：强化本节课所学知识，体会直线方程的几种形式与一般式的互化。）

（四）介绍数学史-------笛卡尔

数学史是一部人类探索数学，揭示数学的发展史。通过介绍数学家笛卡尔和费马对解析几何的艰难探索和创立过程，可以活跃课堂气氛，培养学生学习数学的兴趣；同时发挥激励和榜样的作用，促进学生努力学好数学；最后还能让学生体会到探索是解决问题必不可少的过程，同时又是一个艰辛与困难并存的过程，激励他们树立起探索的意识，培养创新的科学精神。

（五）课堂小结

1、直线方程的五种形式及其特点；

2、直线的一般方程的形式特征；

3、本节课学习了哪些数学思想方法。

(设计意图：使学生对本节课有一个系统的认识，同时养成良好的学习习惯。) （六）布置作业

1、必做题：课本100 A组第3、4题。

2、选做题：已知直线l1:2x(m1)y40与直线l2:mx3y20，

（1）当m为何值时，l1//l2；（2）当m为何值时，l1l2；

3、阅读作业：阅读教材111页的阅读材料“笛卡尔与解析几何”，并查阅相关书

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籍和资料，了解和搜集更多相关信息，下节课展示你的收获。

（设计意图：反馈教学效果，提高有效教学，让不同层次的学生都能得到发展。）

（七）板书设计

（八）教学反思

本节课的教学过程都是围绕教学目标展开的，为了突出重点，我设置了五个问题，让学生的思维围绕问题层层展开，重现知识的形成过程，并通过设置学生活动，引导学生合作交流，独立探索来达到知识的建构。为了突破难点，我以问题3和问题4作为突破口，加上例题2的深化理解，实现了学生对直线与方程关系的理解与感悟，为后续学习曲线方程打下基础。再加上配套的练习和反馈，以及学生在探究过程中知识的收获与能力的提高，基本实现了本节课的教学目标。总之，每一节好的课堂都是以学生获得最优发展为前提的，这就需要充分发挥我们的创造性，让教育过程成为一种艺术的事业。

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