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27．2.3

相似三角形应用举例

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

会利用相似三角形的性质测量物体的高度．

【过程与方法】

1．经历从实际问题中建立数学模型的过程，增强应用意识，提高实践能力．

2．通过把实际问题转化为数学问题，发展学生的抽象概括能力，提高应用数学知识解决实际问题的能力．

【情感态度与价值观】

通过积极参加数学探究活动，激发学生对数学的好奇心和求知欲，体会数学与实际生活密切联系．

二、重难点目标

【教学重点】

利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．

【教学难点】

将实际问题转化为数学问题，构建相似三角形模型解决问题．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P39～P41的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．太阳光下，同一时刻，物体的长度与其影长成正比. 2．太阳光下，同一时刻，不同物体的高度、影子、光线构成的三角形相似. 3．通过自学教材P39例4，能建立相似三角形模型解决“利用影长求物体的高度问题”．

4．通过自学教材P40例5，能建立相似三角形模型解决“河宽问题”．

5．通过自学教材P40～P41例6，能建立相似三角形模型解决“有关角度问题”．

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度．如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20 m．当她与镜子的距离CE＝2.5 m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6 m，请你帮助小红测量出大楼AB的高度．(注：∠BEA＝∠DEC)

【互动探索】(引发学生思考)观察法：要解决问题，需构建△BAE∽△DCE模型来解答．

【解答】∵∠BEA＝∠DEC，∠BAE＝∠DCE＝90°，

∴△BAE∽△DCE，

∴ABAE＝. DCEC∵CE＝2.5 m，DC＝1.6 m，AE＝20 m，

∴AB20＝，

1.62.5∴AB＝12.8，

即大楼AB的高度为12.8 m. 【互动总结】(学生总结，老师点评)解本题的关键是找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程．

活动2

巩固练习(学生独学) 在一次数学活动中，小明到操场测量旗杆AB的高度．他手拿一支铅笔MN，边观察边移动(铅笔MN始终与地面垂直)．如图所示，当小明移动到点D时，眼睛C与铅笔、旗杆的顶端M、A共线，同时眼睛C与它们的底端N、B也恰好共线．此时，测得DB＝50 m，小明的眼睛C到铅笔的距离为0.65 m，铅笔MN的长为0.16 m，请你帮助小明计算出旗杆AB的高度(结果精确到0.1 m)．

解：如图所示，过点C作CF⊥AB，垂足为F，交MN于点E，则CF＝DB＝50 m，CE＝0.65 m. ∵MN∥AB，

∴△CMN∽△CAB. ∴CEMN＝，

CFABMN·CF0.16×50∴AB＝＝≈12.3(m)．

CE0.65即旗杆AB的高度约为12.3 m.

活动3

拓展延伸(学生对学) 【例2】雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得DG＝2.8 m；然后雯雯向前移动1.5 m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH＝1.7 m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD＝EF＝1.6 m．请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度AB.

【互动探索】易得△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，利用相似三角形的性质求出BD的长，进而求出AB的长．

【解答】∵DG＝2.8 m，DF＝1.5 m，GH＝1.7 m，

∴FH＝FG＋GH＝DG－DF＋GH＝2.8－1.5＋1.7＝3(m)．

∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，

∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，

∴∴即CDDGEFFH＝，＝，

ABBGABBHDGFH＝，

BGBH2.83＝，

BD＋2.8BD＋2.8＋1.7解得BD＝21. ∴1.62.8＝，

AB21＋2.8解得AB＝13.6. 即该校旗杆的高度AB为13.6 m. 【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了相似三角形的应用、在用相似比解决问题时，若所列的比例式中含两个未知数，要考虑再找一组相似三角形，并列出比例式，联立两个比例式求解．

环节3

课堂小结，当堂达标