1.3 实习作业教学设计第二课时

翻转课堂教学设计

课题：正弦定理

授课：泉州十一中

唐慧娥

一、学习目标：

1.

通过对三角形边角关系的探究，能证明正弦定理。了解可以从向量法、三角法、面积法等多种途径证明正弦定理。

2.

掌握正弦定理，应用正弦定理理解三角形，知道利用正弦定理立即三角形的问题的两种情形及其基本解法。

二、学习重点和难点

1.

重点：通过对三角形边角关系的探究，证明正弦定理，并能应用它们解三角形

2.

难点：①从多种途径证明正弦定理

②确定已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角这一问题的解的个数的情况。

三、知识导图

abc2R（其中R为△ABC外接圆的半径）

sinAsinBsinC正弦定理

已知两角和任一边，求其它边和角

应用

已知两边和其中一边的对角，求其它边和角

边角互化——判断三角形的形状

四、学习指导

1.

由研究特殊的三角形到一般的三角形，从而得到任意三角形的边角之间的数量关系

2.

一直两边和其中的一边的对角解三角形时，应注意解的个数的确定，常用到“大边对大角”、“三角形内角和为180°”等结论。

3.

在解三角形时因养成作图分析的习惯。

五、学习形式

1.

课前自主学习

2.

小组合作探究

3.

师生交流互动

六、教学过程

（一）课前自主学习（由老师录制微课，学生利用课前时间自主学习）

1

知识点1：正弦定理

探究（一）：在Rt△ABC中，若角A、B、C对应的三边分别为a、b、c，各角与其对边存在以下关系：

abcsinA

sinB

sinC1

ccc

于是可以得到：

Aabc

sinAsinBsinC

探究（二）：在锐角△ABC中，角A、B、C对应的三边分别为a、b、c。

如图（1）作ADBC于D，

bcCaBADAD，sinC

cb所以csinBbsinC

bc即：

sinBsinCac同理可得：，

即：sinAsinCabc

sinAsinBsinC则有:sinBAcbBDa图（1）C

探究（三）：在钝角△ABC中，角A、B、C对应的三边分别为a、b、c，

如图（2）作作ADBC交BC延长线于D。

ADAD（-C），sin

cb（-C）bsinC

所以：csinBbsinabc仿（二）即有

sinAsinBsinC此时，sinBA

正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等。

DC图（2）Babc 即

sinAsinBsinC正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等。

即abc

sinAsinBsinC

二、课堂深化与提升

（一）要点归纳

（二）思考与探究

（三）自我提高

知识点2：解三角形

一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素，求其它元素的过程叫解三角形。

2

知识点3：正弦定理的应用

例1：在△ABC中，已知c10，A45，C30，解三角形。

解：由已知B180AC105

abc

sinAsinBsinCcsinA10sin45102

得：asinCsin30由正弦定理

CAbcbcsinB10sin10562205(62)sinCsin304

aB例2：在△ABC中，已知a16，b163，A30，解三角形。

解：由正弦定理知：ba

sinBsinAA

所以sinBbsinA163sin303

a162cb

因为B(0,180)

所以

B60或B120

（i）若B60，则C90，此时c32

（ii）若B120，则C30，此时c16

基础巩固：

1.

在△ABC中，已知A60，B45，c20，解三角形。

2.

在△ABC中，已知a16，b32，A30，解三角形。

3.

在△ABC中，已知a16，b82，A30，解三角形。

4.

在△ABC中，已知a16，b162，A45，解三角形。

二、课堂深化与提升

问题1：三角形有哪些边角关系？

①ABC180

②任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边

③大边对大角，小边对小角

④

BaCabc

sinAsinBsinC问题2：你能用其它方法证明正弦定理吗？

【思路点拨1】

三角法

连接AO并延长外接圆O于D。

3

连接BD（设○O的半径为R）

在Rt△ABD中

AABc

AD2R因为CD

c所以2R

sinCsinD连接CD，同理可得

cOBaDbCsinBb

2Rb

sinBa

2R所以2R同理可得：sinA所以2Ra

sinAabc2R

（其中R为△ABC的外接圆半径）

所以sinAsinBsinC【思路点拨2】

面积法

1BCAD

211

BCABsinBacsinB

2211

同理知：

SABCabsinCbcsinC

22abc

所以sinAsinBsinC

SABC【思路点拨3】向量法

当△ABC是锐角三角形时，过点A作单位向量e垂直于AB

因为：ACABBC

所以：eACe(ABBC)

所以

eACeABeBC

所以

bcos(90A)ccos(90B)

即

bsinAasinB

得

BAcbBaDCAcbaCabsinAsinB

当△ABC为钝角三角形时，也可类似证明。

问题3：

已知两边和其中的一边的对角求其它边和角时，解的情况有什么不同？

4

答：可能有一解，两解，无解三种情况

（通过分析对比基础巩固和例2得到相应情况）

（三）自我检测

练习：1.在△ABC中，若ab，则（

）

A . sinAsinB

B.sinAsinB

C.sinAsinB

D.sinA与sinB大小关系不能确定

2.

在△ABC中，若A:B:C1:2:3，则a:b:c（

）

A. 1:2:3

B. 3:2:1

C.1:3:2

D. 2:3:1

3.

在△ABC中，若a2bsinA，则B=（

）

A. 30

B. 45

C. 150

D. 30或150

4.

在△ABC中，若acosAbsinB，则△ABC的形状是（

）

A. 等腰三角形

B. 直角三角形

C. 等腰直角三角形

D. 等腰三角形或直角三角形

5.

在△ABC中，已知a4，b22，A45，则B=（

）

A. 30

B. 60

C. 150

D. 30或150

6.

在△ABC中，已知a43，b22，A45，则B=（

）

3A.

60

B.

30

C. 120

D. 60或120

（四）小结与归纳

1. ABC

2. 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边

3. 大边对大角，小边对小角

abc2R

4. sinAsinBsinC

5

七、课后反思

1.本节课先让学生自主学习正弦定理相关知识，再利用课堂启发引导学生从多个角度证明正弦定理，使学生更加深刻掌握三角形这一特殊的边角关系，较好地突出了本节课的重点，也突破了难点

2.课前通过自主学习，提升学生的学习能力，课后通过合作探究，启发学生积极思考、探索，提升学生的数形结合、分类讨论与逻辑推理学科核心素养。

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