小结精品学案

x－3y＋6≥0，1．(2018·长春模拟)不等式组表示的平面区域是(

) x－y＋2<0

解析：选B.x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0以及该直线下方的区域，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0上方的区域，故选B. 2x＋3y≤12，2．二元一次不等式组2x＋3y≥－6，所表示的平面区域的面积为(

) 0≤x≤6A．18

C．36 B．24 D．1213 解析：选C.不等式组所表示的平面区域如图阴影部分，

四边形ABCD是平行四边形，由图中数据可知其面积S＝(4＋2)×6＝36. x－1≥03．(2018·合肥市第一次教学质量检测)若实数x，y满足约束条件x－y≤0，则x－2y的x＋y－6≤0最大值为(

) A．－9 C．－1 B．－3 D．3 解析：选C.画出可行域，如图中阴影部分所示，令z＝x－2y，可知z＝x－2y在点(1，1)处取得最大值－1，故选C.

y≥x＋2，4．(2018·河南郑州模拟)已知实数x，y满足x＋y≤6，则z＝2|x－2|＋|y|的最小值是(

) x≥1，A．6 C．4 B．5 D．3 y≥x＋2，解析：选C.画出不等式组x＋y≤6，表示的可行域，如图阴影部分，其中A(2，4)，B(1，x≥15)，C(1，3)，所以x∈[1，2]，y∈[3，5]．

所以z＝2|x－2|＋|y|＝－2x＋y＋4，当直线y＝2x－4＋z过点A(2，4)时，直线在y轴上的截距最小，此时z有最小值，所以zmin＝－2×2＋4＋4＝4，故选C. 3x－y＋5．(2018·河南郑州一中押题卷二)若x，y满足约束条件3x＋y－y≥0，值时，x＋y的值为(

) A．－1 C．－3 B．1 D.3 3≥0，y＋1取最大3≤0，则当x＋3y＋1解析：选D.作出可行域如图中阴影部分所示，的几何意义是过定点M(－3，－1)与可行x＋3域内的点(x，y)的直线的斜率，由图可知，当直线过点A(0，3)时，斜率取得最大值，此时x，y的值分别为0，3，所以x＋y＝3.故选D.

x－y≥0，6．(2017·高考全国卷Ⅲ)若x，y满足约束条件x＋y－2≤0，则z＝3x－4y的最小值为y≥0，________．

解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l：3x－4y＝0，平移直线

l，当直线z＝3x－4y经过点A(1，1)时，z取得最小值，最小值为3－4＝－1.

答案：－1 x－y＋1≥0，7．(2018·广东茂名模拟)已知点A(1，2)，点P(x，y)满足x＋y－3≤0，O为坐标原点，则x＋3y－3≥0，→→z＝OA·OP的最大值为________．

1→→解析：由题意知z＝OA·OP＝x＋2y，作出可行域如图阴影部分，作直线l0：y＝－x，当l02移到过A(1，2)的l的位置时，z取得最大值，即zmax＝1＋2×2＝5.

答案：5 x－y≤08．(2018·西安市八校联考)设实数x，y满足x＋y≥0，若z＝x＋2y的最大值为3，则a的值y≤a是________．

x－y≤0，解析：依题意得a>0，在平面直角坐标系内大致画出不等式组x＋y≥0，表示的平面区域，y≤a结合图形可知，直线z＝x＋2y经过直线y＝a与直线x－y＝0的交点，即点(a，a)时，z＝x＋2y取得最大值3，因此a＋2a＝3，a＝1.

答案：1 9.已知D是以点A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．

(1)写出表示区域D的不等式组；

(2)设点B(－1，－6)，C(－3，2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．

解：(1)直线AB、AC、BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0，4x＋y＋10＝0.原7x－5y－23≤0，点(0，0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为x＋7y－11≤0，

4x＋y＋10≥0.(2)根据题意有

[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0，

即(14－a)(－18－a)<0，

得a的取值范围是－18

x≥1.y(1)设z＝，求z的最小值；

x(2)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的最大值．

x－4y＋3≤0，解：由约束条件3x＋5y－25≤0，作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示．

x≥1.

x＝1，由

3x＋5y－25＝0，221，.

解得A5x＝1，由解得C(1，1)．

x－4y＋3＝0，x－4y＋3＝0，由解得B(5，2)．

3x＋5y－25＝0，yy－0(1)因为z＝＝，所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率，观察图形可知zminxx－02＝kOB＝.

5(2)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，

dmax＝（－3－5）2＋（2－2）2＝8，

故z的最大值为64.

y≥x，1．(2018·河南安阳模拟)已知z＝2x＋y，其中实数x，y满足x＋y≤2，且z的最大值是最小x≥a，值的4倍，则a的值是(

) 2A.

11C．4 解析：选B.作出不等式组对应的平面区域如图：

1B.

411D.

2

由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，

平移直线y＝－2x，

由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线的纵截距最大，

此时z最大，

x＋y＝2，x＝1，由解得

y＝xy＝1，即A(1，1)，zmax＝2×1＋1＝3，

当直线y＝－2x＋z经过点B时，直线的纵截距最小，

此时z最小，

x＝a，x＝a，由解得

y＝xy＝a，即B(a，a)，zmin＝2×a＋a＝3a，

因为z的最大值是最小值的4倍，

1所以3＝4×3a，即a＝，故选B. 4x＋y≤0y－22．(2018·石家庄市教学质量检测(二))若x，y满足约束条件x－y≤0，则z＝的最小值x＋3x2＋y2≤4为(

) A．－2 2B．－

3

12C．－

5D.2－4

7y－2解析：选C.作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝表x＋3示区域内的点与点P(－3，2)连线的斜率．由图知当区域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，则有或k＝0(舍去)，所以zmin＝－12，故选C. 5|3k＋2|12＝2，解得k＝－5k2＋1

3．(2018·陕西省高三教学质量检测试题(一))点(x，y)满足不等式|x|＋|y|≤1，Z＝(x－2)2＋(y－2)2，则Z的最小值为________．

解析：|x|＋|y|≤1所确定的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数Z＝(x－2)2＋(y－2)2的几何意义是点(x，y)到点P(2，2)距离的平方，由图可知Z的最小值为点P(2，2)到直线x＋y2＋2－129＝1距离的平方，即为＝.

22

9答案：

2y－1≥0，4．(2018·山西五校联考)不等式组x－y＋2≥0，表示的平面区域为Ω，直线x＝a(a>1)将平x＋4y－8≤0面区域Ω分成面积之比为1∶4的两部分，则目标函数z＝ax＋y的最大值为________．

解析：如图，平面区域Ω为△ABC及其内部，作直线x＝a(1

答案：9 x＋y≥1，5．若x，y满足约束条件x－y≥－1，

2x－y≤2，11(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；

22(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围．

解：(1)作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)．

11平移初始直线x－y＋＝0，过A(3，4)时z取最小值－2，过C(1，0)时z取最大值1.

22所以z的最大值为1，最小值为－2.

a(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，

2解得－4

故a的取值范围是(－4，2)．

6．(2017·高考天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

甲

乙

连续剧播放

时长(分钟) 70

60

广告播放

时长(分钟) 5

5

收视

人次(万) 60 25 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．

(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？

5x＋5y≥30，解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为x≤2y，x≥0，y≥0，x＋y≥6，即x－2y≤0，x≥0，y≥0，7x＋6y≤60，

70x＋60y≤600，

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：

(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.

12z12z考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.525525z为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以25z由图2可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．

257x＋6y＝60，解方程组得点M的坐标为(6，3)．

x－2y＝0，所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．