2.3 等差数列的前n项和ppt配套的教学设计方案

课题：2.3.2等差数列的前n项和（2）

宁陵县第二高级中学 张国红 【学习目标】 1．熟练掌握等差数列前n项和的性质，并能灵活运用．

2．掌握等差数列前n项和的最值问题．

【学习重点】 熟练掌握等差数列的求和公式

【学习难点】 灵活应用求和公式解决最值问题. 【授课类型】 新授课

【教 具】 多媒体电脑、实物投影仪、电子白板

【学习方法】 诱思探究法

【学习过程】

一、复习引入：首先回忆一下上一节课所学主要内容：

1．前n项和Sn与an之间的关系对任意数列{an}，Sn是前n项和，Sn与an的关系可以表示为an＝ n(a1an)n(n1)d2．等差数列的前n项和公式：Sn

Snna1

2223．若等差数列{an}的前n项和公式为Sn＝An＋Bn＋C 则A＝ ___，B＝ ，C＝ .

二、新课学习：

[问题情境] 1．如果{an}是一个等差数列，那么如何求{|an|}的前n项和的最值呢？有几种求法？该怎么求？

2．如果{an}是一个等差数列，那么{|an|}还是等差数列吗？如果不再是等差数列，如何求{|an|}的前n项和？

这一节课我们就来解答上面的问题．

探究

按要求，把下列表格填充完整，并观察使等差数列前n项

和Sn取到最值时序号n的规律. 序前n项等差数列

基本量

Sn的最值

号

和Sn 1 2 3 4 1,3,5,7,9，…，

a1＝

，d＝ . Sn＝ (Sn)min＝

， n＝ －5,－3，－1,1,3，…，

a1＝

，d＝ . Sn＝ (Sn)min＝

， n＝ 4,2,0,－2，－4，…，

a1＝

，d＝ . Sn＝ (Sn)max＝

， n＝ －1,－2，－3,－4，－a1＝

，d＝ . Sn＝ (Sn)max＝

， n＝ 5，…，

通过上面的例子，我们看到等差数列前n项和的最值在项的符号分界点处取到，据此完善下列结论：

1

(1)若a1＞0，d＜0，则数列的前面若干项为 项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最 值．

(2)若a1＜0，d＞0，则数列的前面若干项为 项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最 值；

特别地，若a1＞0，d＞0，则S1是{Sn}的最 值;若a1＜0，d＜0，则S1是{Sn}的最 值．

例1 在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值．

解

方法一

∵an＝2n－14，∴a1＝－12，d＝2. ∴a1

∴当n＝6或n＝7时，Sn取到最小值．

易求S7＝－42，∴(Sn)min＝－42. 方法二

∵an＝2n－14，∴a1＝－12. ∴Sn＝＋213169＝n2－13n＝n－2－. 24∴当n＝6或n＝7时，Sn最小，且(Sn)min＝－42. 小结：在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．

跟踪训练1 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．

解

方法一

利用前n项和公式和二次函数性质．

179由S17＝S9，得25×17＋×(17－1)d＝25×9＋×(9－1)d，

22n解得d＝－2，所以Sn＝25n＋(n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169，

2由二次函数性质可知，当n＝13时，Sn有最大值169. 方法二

先求出d＝－2，因为a1＝25>0，

－an＝25－由an＋1＝25－2n≤0，，

1n≤13，2得1n≥12.2

所以当n＝13时，Sn有最大值．

S13＝25×13＋－2×(－2)＝169. 因此Sn的最大值为169. 方法三

由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，

而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，

2

故a13＋a14＝0.由方法一知d＝－2<0，

又因为a1>0，所以a13>0，a14<0，

故当n＝13时，Sn有最大值．

S13＝25×13＋－2×(－2)＝169. 因此Sn的最大值为169. 例2 若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn. 解

∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n. 当n≤4时，

Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋－2n－2d ＝13n＋×(－4)＝15n－2n2；

当n≥5时，

Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an) ＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn＝2×＝56＋2n2－15n. 15n－2n2，n≤4；∴Tn＝2n2－15n＋56，n≥5.＋2－(15n－2n2)

小结：等差数列{an}前n项的绝对值之和，由绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和．

跟踪训练2 已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn. 2×12a1＋2d＝16，由S＝16，S＝24，得4×34a1＋d＝24.224解

2a1＋d＝16，即2a1＋3d＝12.

a1＝9，

解得d＝－2.

所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n (n∈N*)．

①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n. ②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn ＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，

3

－n2＋10n

故Tn＝n2－10n＋，

随堂练习：

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an等于

( D ) A．n

B．n2

C．2n＋1

D．2n－2．

2. 数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是

( B ) A．－2

B．－1

C．0

D．1 解析

等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，

∴λ＝－1. 3．设数列{an}的通项为an＝2n－7(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝________. 解析

|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a7| ＝(－a1)＋(－a2)＋(－a3)＋(a4＋a5＋a6＋a7) ＝－(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6＋a7) ＝－(－5－3－1)＋(1＋3＋5＋7) ＝5＋3＋1＋1＋3＋5＋7＝25. 4．首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝________时，Sn取到最大值．

解析

∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，

∴a6＝0. ∵a1＞0，∴a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＝0，a7＜0. 故当n＝5或6时，Sn最大．

课堂小结：

1．求等差数列前n项和的最值

(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．

an≥0，(2)通项法：当a1>0，d<0，an＋1≤0an≤0，当a1<0，d>0，an＋1≥0

时，Sn取得最大值；

时，Sn取得最小值．

2．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点．

作业：1、课本54页，第4,6,7题

2、学习指导32页，等差前n项和练习2

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