信息技术应用 估计√2的值教案教学设计

《2.3等差数列的前n项和》教学设计

唐山一中

周国明

一、教材分析

教学内容： 《等差数列的前n项和》为高中教材人教A版必修五2.3节，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用。 地位与作用：

本节对“等差数列前n项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其学***台是学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。 二、目标分析

1、教学目标

依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：

知识与技能

(1)掌握等差数列前n项和公式; (2)掌握等差数列前n项和公式的推导过程; (3)会简单运用等差数列的前n项和公式。

过程与方法

(1)通过对等差数列前n项和公式的推导过程,渗透倒序相加求和的数学方法；

(2)通过公式的运用体会方程的思想；

(3)通过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力。

(4)创设由探索1+2+3+……+100的和,推广到探索一般的等差数列前n项和sna1a2a3......an的求和公式的情景,使学生进一步体会从特殊到一般的数学研究方法, 并使学生在反馈练习的过程中，进一步提高问题解决的能力。 情感态度和价值观

结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化。

2、教学重点、难点

重点：等差数列前n项和公式的推导和应用。

难点：等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。

重、难点解决的方法策略

本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。

1

三、教学模式与教法、学法

本课采用“探究——发现”教学模式。

教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导。

学生的学法突出探究、发现与交流。

四、教学过程

教学

环节

创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石，共有100层，同时提出第一个问题：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？也即计算1+2+3+…..+100=？

现实模型： ①

图片欣赏②

生活实例

教

师

活

动

学

生

活

动

活 动

说 明

模型直

观,用实际生活引入课。

新课引入

探

索公

式

首先认识一位伟大的数学家——高斯，然后提出问题：高斯是如何快速计算1+2+3+4+…..+100？

将这个问题一般化，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放n支.这个V形架上共放着多少支铅笔？

如何用高斯算法解决这个问题呢？

同学们发现，需要讨论奇偶，比较麻烦，我们探求一个新方法，将笔架倒置，和原笔架做拼接，两个三角形构成平行四边形，求铅笔的总数量，就非常简单（引导学生发现倒序相加的方法）。

这是一个特殊的等差数列求和问题，这种倒序相加的方法是否可以推广到一般的等差数列呢？为了更加顺利的解决问题，我们先复习一下等差数列的相关知识。

复习回顾：

1.什么是等差数列？

2 学生：1+100=101，2+99=101，…..50+51=101，所以原式=50（1+101）=5050 分组讨论，学生：将首末两项配对，第二项与倒数第二项配对，以此类推，每一对的和都相等，并且都等于

1



n

。但由特殊到一般，符合学生的认识事物的规律，

需要对n取值的奇偶进行讨论。层层深提出当n为偶数时刚好配对成功；

入，当n为奇数时，中间的一项落单了。让学生板书上述过程。

学生观察图片演示，不难发现用倒置的思想来解决此问题。

学生思考并回答问题，特别加深对等差数列下标等和性质的印象。

问题，从高斯算法出发，对n进行讨论寻找求和公式思路自然，学生容易想

2.等差数列的通项公式是什么？

3.等差数列的性质有哪些？

设等差数列{an}前n项和为Sn

,则

探索

公

式

记

忆

公

式

问题：如何用倒置的思想求等差数列前n项和呢？

方法一：

两式相加得：

2Snn(a1an)

nSn(a1an)

2方法二

同样利用倒序相加求和法，教材做了如下处理：

S

na1(a1d)...[a1(n1)d]将Sn中的每一项用等差

数列的通项公式进行巧妙的改S

nan(and) ... 

[an(n1)d]写，在倒序相加求和时，每一

组中的d都被正负抵消了。

两式相加得：

2Snn(a1an)

n

学生类比方法一与方法二的公式1：Sn(a1an)2

联系与区别。

引导学生带入等差数列的通项公式，换掉

整理得到公式2。

n(n1)：Snna1d

公式22

问题3：能否给求和公式一个几何解释呢？

教师提示将求和公式与梯形建立联系。

学生可以发现公式一刚好和梯

形的面积公式相一致，首项即

上底长，末项即下底长，高为

项数n。

公式二比较困难，可以提示学生将梯形分解为一

观察多媒体课件演示。

个平行四边形和一个三角形，前后两部分分别是学生：将求和公式与梯形面积两个面积，配合课件展示。

公式建立联系，而梯形面积公

式的推导也正是利用了倒置的

思想。同样将公式2与梯形面

积公式建立联系。用“割”的思想将梯形分做一个平行四边

形和一个三角形，而梯形面积

就是这两部分面积之和。

Sna1a2an1an

（由上一问题的解决，学生容易想到倒序相加求和法。）

学生：利用倒序相加求和法。

到。

倒序相加求和法是重要的数学思想，为以后数列求和的学习做好了铺垫。

在等差数列前n项和公式的推导过程中，通过问题获得知识，让学生经历“发现问题——提出问题——解决问题”的过程。

3

例

题

讲

解

．

使学生对两个公式有直观的认识。

例1. 53a，a,Sn5,1nan62（1）等差数列，

求n和d.

（2）等差数列an，已知a14，S8172,求学生讨论：公式中一共含有五

a8和d.

2个量，根据三个公式之间的联

解(1)由题意，得Sn＝n(a1an)＝－5，解得n系，由方程的思想，知三可求

二。

＝15. 531又a15＝6＋(15－1)d＝－2，∴d＝－6.

(2)由已知，得S88(a1a8)8(4a8),解得22目的是让学生熟悉运用公式。

例2在解决了例1的基础上，体会方程的思想。

紧扣教学生练习，请学生板书，发现书写的不规范，加深对公式的又∵a84(81)d39,∴d＝5. 记忆和应用。

a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都

可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，

an，Sn中可知三求二。

例2

已知一个等差数列前10项的和是310，前

20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数

列的前n项和的公式吗？

分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式，

方法一.可得到两个关于a1与d的二元一次方程，

由此可以求得a1与d，从而得到所求前n项和的公

式.由题意知S10310,S201220.将它们代入公

n(n1)

d,得到

式Snna12

10a145d310学生解决这个问题，更多同学解得

a4,d6.,1使用第一个求和公式，中间运20a190d12201算过程可能会遇到障碍，列完a839

4

Sn4nn(n1)63n2n.

2方程不知道做什么。

材，解决学生非常容易犯错的问题。

总结提升，加深对本节

(a1a10)5310,

得方程组(a1a20)51220

学生自己完成，并请同学板书。

a1a10=62①两个方法都可行，比较两个方，两式做差，即得法的区别和联系。

解得a1a20=122②

a20-a10=10d=60,d6，代入①，得a14.

1例3　已知数列an的前n项和为Snn2n，

2

求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列

吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

解：根据Sna1a2an-1an与

　　Sn-1a1a2an（n1），-1

可知，当n1时，

anSn-Sn-1

11122nn-[（n-1）（n-1）]2n-.

222

当n1时，

13 a1S1121，也满足上式.

22

1学生自己完成，体会降阶做差所以数列an的通项公式为an2n-.2方法检验首项的必要性，掌握3解决此类问题的通法。

由此可知，数列an是一个首项为

，公

2

差为2的等差数列.

变式：已知数列{an}的前n项和为

变式

n2Snn1，求这个数列的通项公式，这个数学生自主练习，体会降阶做差2中检验首项的必要性，并且引列是等差数列吗？

发学生更加深入的问题，等差

数学的前n项和的形式是怎么样的？即没有常数项的二次函数。

5 (aan)n方法二.由Sn12，

课

堂

总

结

课所学

知识的

理解。

课下探究：等差数列的前n项和是否都形如

课下练习，讨论，发现问题的SnAn2Bn呢？

反之，一定是等差数列吗？

本质，提升对公式的理解。

1.教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内本环节由学生自主归纳、总容．

结本节课所学习的主要内容，

教师加以补充说明．

2.课后作业：

（1）回顾从特殊到一般，

课本46页A组1,2,3题。

一般到特殊的研究方法. （2）体会等差数列的基本

元表示方法，倒序相加的算法，及数形结合的数学思想.

12n,n22an

5,n12板书设计：

2.3等差数列前n项和

二．公式

an①a1②

一．倒序相加法

学生活动

(辅助性板书)

Sna1a2a3

Snanan1an2n(a1an)1．Sn

22．Snna1

2Sna1ana2an1a3an2ana1

又a1ana2an1a3an2n(n1)d

2三．降阶做差

2Snn(a1an)

公式2：

（,S1n=1）an（.1n2）SnSn

ana教学反思：

1.学生因为先学习了公式一，所以在解题过程中总会先考虑用公式一解题，失败了才考虑公式二，要通过实际运算体验让学生明白公式二使用非常广泛。

2.可以在例1前增加两个更加简单的小练习，来让学生熟悉公式，实现循序渐进的效果。

3.学生在书写过程中缺乏规范意识，要在平时教学中注意培养。

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