1.3 实习作业第二课时教学设计

《三角形中的综合问题》教学设计

教学目的：

1、进一步熟悉正、余弦定理内容； 2、能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化； 3、能够利用正、余弦定理判断三角形的形状； 4、能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式

教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向

教学难点:

三角函数公式变形与正、余弦定理的联系

教学过程：

一、复习引入：

正弦定理：abc2R

sinAsinBsinC222b2c2a2余弦定理：abc2bccosA,cosA2bcc2a2b2bca2cacosB,cosB2ca222222

a2b2c2 cab2abcosC，cosC2ab二、讲解范例：

课堂练习：

例1、．(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别3为a，b，c.若a＝2，c＝23，cos A＝且b

) 2A．3 B．22 C．2 D.3 2π例2、

(2015·北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝6，∠A＝，3

则∠B＝________. 例3、

(2015·重庆卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别1为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c4＝________. 例4、

(2015·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C. (1)若a＝b，求cos B；

(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．

考点热点突破

考向一

正、余弦定理在解三角形中的应用

[典例1] (1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(

) A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．不确定

(2)(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

sin B①求

；

sin C2②若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．

2考向二

正、余弦定理的实际应用

[典例2] (2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.

如图，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处．然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛．

(1)求A，C两岛之间的直线距离；

(2)求∠BAC的正弦值．

评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这

一性质的适用题型

另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：

由三角形内角平分线性质可得ABACBD5，设DC3BD＝5ｋ，DC＝3ｋ，则由互补角∠ADC、∠ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA

三、课堂练习：

1、半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边长的乘积

解：设△ABC三边为a，b，c则Ｓ△ABC＝1acsinB

2∴又∴SABCacsinBsinBabc2abc2bb2R，其中sinB

R为三角形外接圆半径

SABC1, ∴abc＝4RS△ABC＝4×1×0．25＝1 abc4R所以三角形三边长的乘积为1

评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：

abc2R，其中sinAsinBsinCR为三角形外接圆半径，与含有正2弦的三角形面积公式Ｓ△ABC＝1acsinB发生联系，对abc进行整体求解

2、在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，

AC＝7，DC＝3，求

AB

解：在△ADC中，

cosC＝AC2DC2AD272325211,

2ACDC27314314又0＜C＜180°，∴sinC＝5在△ABC中，sinBACAB

sinBsinC

∴AB＝sinCAC535627.

142评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用

3、在△ABC中，已知cosA＝3，sinB＝5，求cosC的值

513解：∵cosA＝3＜522＝cos45°，0＜A＜π

5∴45°＜A＜90°, ∴sinA＝4

∵sinB＝5＜1＝sin30°，0＜B＜π

132∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°

若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符

∴0°＜B＜30° cosB＝12

13∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝3124513516

51365又C＝180°－（A＋B）

∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－16

65评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应

根据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较

四、课堂小结 通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力

五、课后记及备用资料：

1正、余弦定理的综合运用

余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：

sinA＝sinB＋sinC－2sinBsinCcosA

222这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，下面举例说明之

［例1］在△ABC中，已知sinB－sinC－sinA＝求B的度数

2223sinAsinC，解：由定理得sinB＝sinA＋sinC－2sinAsinCcosB，

∴－2sinAsinCcosB＝3sinAsinC

3 ∴B＝150°

2222∵sinAsinC≠0

∴cosΒ＝－22［例2］求sin10°＋cos40°＋sin10°cos40°的值

解：原式＝sin10°＋sin50°＋sin10°sin50°

22

在sinA＝sinB＋sinC－2sinBsinCcosA中，令B＝10°，C＝50°，

则A＝120°

222sin120°＝sin10°＋sin50°－2sin10°sin50°cos120°

＝sin10°＋sin50°＋sin10°sin50°＝（2223）＝342222

［例3］在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状

解：在原等式两边同乘以sinA得：2cosBsinAsinC＝sinA，

由定理得sinA＋sinC－sinΒ＝sinA，

∴sinC＝sinB ∴B＝C

故△ABC是等腰三角形

22222222一题多证 在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形

证法一：欲证△ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a＝bsinA

sinB∴2bcosC＝bsinA，即sinB2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC

∴sinBcosC－cosBsinC＝0 即sin（B－C）＝0，

∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）

∵B、C是三角形的内角，

∴B＝C，即三角形为等腰三角形

证法二：根据射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，

又∵a＝2bcosC ∴2bcosC＝bcosC＋ccosB ∴bcosC＝ccosB，即bcosB.

ccosC又∵bsinB.∴sinBcosB,即csinCsinCcosCtanB＝tanC

∵B、C在△ABC中，

∴B＝C ∴△ABC为等腰三角形

a2b2c2aa2b2c2a及cosC,∴,

证法三：∵cosC＝2ba2b2ab2b化简后得b＝c

∴b＝c ∴△ABC是等腰三角形

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